Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，CD是⊙O的直徑，AB與CD交于點E，點P是CD延長線上的一點，AP=AC，且∠B=2∠P．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若PD=，求⊙O的直徑；

（3）在（2）的條件下，若點B等分半圓CD，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）；

【解析】

（1）連接OA、AD，如圖，利用圓周角定理得到∠B=∠ADC，則可證明∠ADC=2

∠ACP，利用CD為直徑得到∠DAC=90°，從而得到∠ADC=60°，∠C=30°，則∠AOP=60°，

于是可證明∠OAP=90°，然后根據切線的判斷定理得到結論；

（2）利用∠P=30°得到OP=2OA，則，從而得到⊙O的直徑；

（3）作EH⊥AD于H，如圖，由點B等分半圓CD得到∠BAC=45°，則∠DAE=45°，設

DH=x，則DE=2x，所以 然后求出x即可

得到DE的長．

（1）證明：連接OA、AD，如圖，

∵∠B=2∠P，∠B=∠ADC，

∴∠ADC=2∠P，

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP，

∴∠ADC=2∠ACP，

∵CD為直徑，

∴∠DAC=90°，

∴∠ADC=60°，∠C=30°，

∴△ADO為等邊三角形，

∴∠AOP=60°，

而∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OAP中，∵∠P=30°，

∴OP=2OA，

∴

∴⊙O的直徑為；

（3）解：作EH⊥AD于H，如圖，

∵點B等分半圓CD，

∴∠BAC=45°，

∴∠DAE=45°，

設DH=x，

在Rt△DHE中，DE=2x，

在Rt△AHE中，

∴

即

解得

∴