Question

【題目】已知，在等腰△ABC中，AB=AC，F為AB邊上的中點，延長CB至D，使得BD=BC，連接AD交CF的延長線于E．
（1）如圖1，若∠BAC=60°，求證：△CED為等腰三角形

（2）如圖2，若∠BAC≠60°，（1）中結論還成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．

（3）如圖3，當 =是（直接填空），△CED為等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，

∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，

而BC=BD，

∴AB=BD，

∴∠D=∠BAD，

而∠ABC=∠D+∠BAD，

∴∠D=30°，

∵F點AB的中點，

∴CF平分∠ACB，

∴∠ACE=∠DCE=30°，

∴∠D=∠DCE，

∴△CED為等腰三角形；

（2）

解：成立．

延長CF到M使FM=CF，連接AM，如圖2，

在△AMF和△BCF中

，

∴△AMF≌△BCF，

∴AM=BC，∠M=∠BCF，

∵BC=BD，

∴AM=BD，

∵∠M=∠BCF，

∴AM∥CD，

∴∠MAC+∠ACB=180°，

而∠DBA+∠ABC=180°，∠ABC=∠ACB，

∴∠MAC=∠DBA，

在△AMC和△BDA中

，

∴△AMC≌△BDA，

∴∠M=∠D，

∴∠D=∠DCE，

∴△CED為等腰三角形；

（3）
【解析】（3）解：作BH⊥CE于H，連接BE，

由（2）得△CED為等腰三角形，當∠BCE=45°時，△CED為等腰直角三角形，
∴EB⊥CD，
設BH=x，則CH=EH=x，BC= x，
易證得△AEF≌△BHF，則EF=HF= HE= x，
在△BFH中，BF= = x，
∴AB=2BF= x，
∴ = = ．
故答案為 ．
（1）如圖1，先證明△ABC為等邊三角形得到∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，再證明∠D=∠DCE=30°，然后根據等腰三角形的判定定理得到△CED為等腰三角形；（2）延長CF到M使FM=CF，連接AM，如圖2，先證明△AMF≌△BCF得到AM=BC，∠M=∠BCF，再證明△AMC≌△BDA得到∠M=∠D，所以∠D=∠DCE，于是可判斷△CED為等腰三角形；（3）作BH⊥CE于H，連接BE，如圖3，由（2）得△CED為等腰三角形，當∠BCE=45°時，△CED為等腰直角三角形，則EB⊥CD，設BH=x，則CH=EH=x，BC= x，易證得△AEF≌△BHF，則EF=HF= HE= x，再利用勾股定理計算出BF= x，所以AB=2BF= x，然后計算出 的值．