Question

【題目】數學活動課上，老師提出問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，點D是AB的中點，點E是BC上一個動點，連接AE、DE．問CE的長是多少時，△AED的周長等于CE長的3倍．設CE＝xcm，△AED的周長為ycm（當點E與點B重合時，y的值為10）．

小牧根據學習函數的經驗，對函數y隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究．

下面是小牧的探究過程，請補充完整：

（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
y/cm	8.0	7.7	7.5	7.4		8.0	8.6	9.2	10

（說明：補全表格時相關數值保留一位小數）

（2）建立平面直角坐標系，描出上表中對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象，如圖2；

（3）結合畫出的函數圖象，解決問題：

①當CE的長約為　 　cm時，△AED的周長最小；

②當CE的長約為　 　cm時，△AED的周長等于CE的長的3倍．

Answer 1

【答案】（1）7.6；（2）見解析；（3）①1.5；②2.7

【解析】

（1）x=2cm，即CE=2cm，由勾股定理求出AB=5cm，求出AD=2.5，DE是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出DE=AC=1.5，由勾股定理求出AE≈3.6，即可得出結果；

（2）根據（1）表對應的坐標值進行描點，畫出圖象即可；

（3）①由（2）畫出的函數圖象得出：當CE的長約為1.5cm時，△AED的周長最小即可；

②在（2）函數圖象中，畫出直線y=3x的圖象，直線y=3x與原函數圖象的交點即為△AED的周長等于CE的長的3倍值時對應x的值，即可得出結果．

（1）x＝2cm，即CE＝2cm，

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，

∴AB＝5cm，

∵BC＝4，點D是AB的中點，

∴AD＝2.5，DE是△ABC的中位線，

∴DEAC＝1.5，

∴AE3.6，

∴y＝AE+DE+AD＝3.6+1.5+2.5＝7.6；

故答案為：7.6；

（2）根據（1）表對應的坐標值進行描點，畫圖象；如圖2所示：

（3）①由（2）畫出的函數圖象，

當CE的長約為1.5cm時，△AED的周長最小；

故答案為：1.5；

②在（2）函數圖象中，畫出直線y＝3x的圖象，如圖3所示：

直線y＝3x與原函數圖象的交點即為△AED的周長等于CE的長的3倍值時對應x的值，x≈2.7cm，

故答案為：2.7．