Question

【題目】（1）操作發現

如圖①，在五邊形中，，，試猜想之間的數量關系，小明經過仔細思考，得到如下解題思路：將繞點逆時針旋轉90°至，由，得，即點三點共線，易證，故之間的數量關系是________；

（2）類比探究

如圖②，在四邊形中，，，點分別在邊的延長線上，，連接，試猜想之間的數量關系，并給出證明；

（3）拓展延伸

如圖③，在中，，，點均在邊上，且，若，則的長為________．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉90°至△AEF，由∠B=∠AED=90°，得∠DEF=180°，即點D，E，F三點共線，易證△ACD≌△AFD，可得結論；

（2）如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADE'，證明△AFE≌△AFE'，據全等三角形的性質解答；

（3）將△ABD繞點A逆時針旋轉至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，根據全等三角形的性質、勾股定理計算．

（1）BC，CD，DE之間的數量關系為：，理由是：

如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉90°至△AEF，由∠B=∠AED=∠AEF=90°，得∠DEF=180°，即點D，E，F三點共線，

∵∠BAE=90°，∠CAD=45°，

∴∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=45°，

∴∠CAD=∠FAD，

∵AD=AD，

∴△ACD≌△AFD（SAS），

∴CD=DF=DE+EF=DE+BC，

故答案為： CD=DE+BC；

（2）如圖2，之間的數量關系是，

證明：將繞點逆時針旋轉，使與重合，得到，則，

∴，，，，

∴，

∵，，

，即三點共線，

又，

∴，在和中，，，，

∴，

∴，

又∵，

∴．

（3）如圖3，將繞點逆時針旋轉至，使與重合，連接，則，

由（1）同理得，，

∴．

∵，

∴，

在中，，

即．