Question

【題目】已知，如圖，在平面直角坐標系中，直線 與軸交于點A，與軸交于點B，拋物線經過A、B兩點，與軸的另一個交點為C．

（1）直接寫出點A和點B的坐標；

（2）求拋物線的函數解析式；

（3）D為直線AB下方拋物線上一動點；

①連接DO交AB于點E，若DE：OE=3：4，求點D的坐標；

②是否存在點D，使得∠DBA的度數恰好是∠BAC度數2倍，如果存在，求點D 的坐標，如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(-4，0)、B（0，-2）；（2）；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）．

【解析】

（1）在中由求出對應的x的值，由x=0求出對應的y的值即可求得點A、B的坐標；

（2）把（1）中所求點A、B的坐標代入中列出方程組，解方程組即可求得b、c的值，從而可得二次函數的解析式；

（3）①如圖，過點D作x軸的垂線交AB于點F，連接OD交AB于點E，由此易得△DFE∽OBE，這樣設點D的坐標為，點F的坐標為,結合相似三角形的性質和DE：OE=3:4，即可列出關于m的方程，解方程求得m的值即可得到點D的坐標；

②在y軸的正半軸上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC，若此時∠DAB =2∠BAC=∠HAB，則BD∥AH，再求出AH的解析式可得BD的解析式，由BD的解析式和拋物線的解析式聯立構成方程組，解方程組即可求得點D的坐標．

解：（1）在中，由可得：，解得：；

由可得：，

∴點A的坐標為（-4，0），點B的坐標為（0，-2）；

（2）把點A的坐標為（-4，0），點B的坐標為（0，-2）代入得：

，解得： ，

∴拋物線的解析式為：；

（3）①過點D作x軸的垂線交AB于點F，

設點D，F,

連接DO交AB于點E，△DFE∽OBE，

因為DE：OE=3：4，

所以FD：BO=3：4，

即：FD=BO= ,

所以,

解之得： m1=-1，m2=-3 ，

∴D的坐標為（-1，3）或（-3，-2）；

②在y軸的正半軸上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，

∴∠BAH=2∠BAC，

若∠DBA=2∠BAC，則∠DBA=∠BAH，

∴AH//DB，

由點A的坐標（-4，0）和點H的坐標（0，2）求得直線AH的解析式為：，

∴直線DB的解析式是：,

將：聯立可得方程組：，

解得： ，

∴點D的坐標（-2，-3）．