Question

如圖1，已知直線y=-

1

2

x與拋物線y=-

1

4

x²+6交于A，B兩點．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求線段AB的垂直平分線的解析式；
（3）如圖2，取與線段AB等長的一根橡皮筋，端點分別固定在A，B兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P將與A，B構成無數個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時P點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

（1）依題意得

y=- 1 4 x2+6 y=- 1 2 x

解之得

x1=6 y1=-3

x2=-4 y2=2

∴A（6，-3），B（-4，2）

（2）作AB的垂直平分線交x軸，y軸于C，D兩點，交AB于M（如圖1），
由（1）可知：OA=3

5

，OB=2

5

∴AB=5

5

1

2

AB-OB=

5

2

過B作BE⊥x軸，E為垂足
由“△BEO∽△CMO，得：

OC

OB

=

OM

OE

，
∴OC=

5

4

同理：OD=

5

2

，
∴C（

5

4

，0），D（0，-

5

2

）
設CD的解析式為y=kx+b（k≠0）
∴

0= 5 4 k+b - 5 2 =b

∴

k=2 b=- 5 2

∴AB的垂直平分線的解析式為：y=2x-

5

2

．

（3）若存在點P使△APB的面積最大，則點P在與直線AB平行且和拋物線只有一個交點的直線
y=-

1

2

x+m上，并設該直線與x軸，y軸交于G，H兩點（如圖2）．
∴

y=- 1 2 x+m y=- 1 4 x2+6

∴

1

4

x²-

1

2

x+m-6=0
∵拋物線與直線只有一個交點，
∴△=（-

1

2

）²-4×

1

4

（m-6）=0，
∴m=

25

4

，
故

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

=0，即（x-1）²=0，
解得：x=1，
將x=1代入y=-

1

2

+

25

4

得：y=

23

4

，
∴P（1，

23

4

）
在直線GH：y=-

1

2

x+

25

4

中，
∴G（

25

2

，0），H（0，

25

4

）
∴GH=

25

4

5

設O到GH的距離為d，
∵

1

2

GH•d=

1

2

OG•OH
∵

1

2

×

25 5

4

d=

1

2

×

25

2

×

25

4

∴d=

5 5

2

，
又∵由AB∥GH
∴P到AB的距離等于O到GH的距離d．
∴S_最大面積=

1

2

AB•d=

1

2

×5

5

×

5 5

2

=

125

4

．