Question

【題目】已知，在平行四邊形ABCD中，E為AD上一點，且AB=AE，連接BE交AC于點H，過點A作AF⊥BC于F，交BE于點G.

(1)若∠D=50°，求∠EBC的度數；

(2)若AC⊥CD,過點G作GM∥BC交AC于點M，求證：AH=MC.

Answer 1

【答案】（1）∠EBC=25°；（2）見解析；

【解析】

（1）根據等邊對等角以及平行線的性質，即可得到∠1=∠2=∠ABC，再根據平行四邊形ABCD中，∠D=50°=∠ABC，可得出∠EBC的度數；

（2）過M作MN⊥BC于N，過G作GP⊥AB于P，則∠CNM=∠APG=90°，先根據AAS判定△BPG≌△BFG，得到PG=GF，根據矩形GFNM中GF=MN，即可得出PG=NM，進而判定△PAG≌△NCM（AAS），可得AG=CM，再根據等角對等邊得到AH=AG，即可得到結論．

(1)∵AB=AE，

∴∠1=∠3，

∵AE∥BC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2=∠ABC，

又∵平行四邊形ABCD中,∠D=50°，

∴∠ABC=50°，

∴∠EBC=25°；

(2)證明：如圖,過M作MN⊥BC于N,過G作GP⊥AB于P,則∠CNM=∠APG=90°，

由(1)可得，∠1=∠2，

∵AF⊥BC，

∴∠BPG=∠BFG=90°，

在△BPG和△BFG中，

，

∴△BPG≌△BFG(AAS)，

∴PG=GF，

又∵矩形GFNM中，GF=MN，

∴PG=NM，

∵AC⊥CD,CD∥AB，

∴∠BAC=90°=∠AFB，

即∠PAG+∠ABF=∠NCM+∠ABC=90°，

∴∠PAG=∠NCM，

在△PAG和△NCM中，

，

∴△PAG≌△NCM(AAS)，

∴AG=CM，

∵∠1=∠2，∠BAH=∠BFG，

∴∠AHG=∠FGB=∠AGH，

∴AG=AH，

∴AH=MC.