Question

【題目】如圖1，點M放在正方形ABCD的對角線AC(不與點A重合)上滑動，連結DM，做MN⊥DM,交直線AB于N．

(1)求證：DM=MN；

(2)若將(1)中的正方形變為矩形，其余條件不變如圖，且DC=2AD，求MD:MN的值；

(3)在(2)中，若CD=nAD，當M滑動到CA的延長線上時(如圖3)，請你直接寫出MD：MN的比值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：（1）過M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，則∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，根據ASA即可判定△MDP≌△MNQ，進而根據全等三角形的性質得出DM=MN；
（2）過M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，則∠WMS=90°，根據∠DMW=∠NMS，∠MSN=∠MWD=90°，判定△MDW∽MNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根據△AWM∽△ADC，DC=2AD，即可得出MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；
（3）過M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，則易得△NMX∽△DMR，得出MD：MN=MR：MX=AX：MX，再由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，得出AX：MX=CD：AD，最后根據CD=nAD，即可得出MD：MN=CD：AD=n．

詳解：

證明：過M作于于P，則，

，

，

是正方形，

平分，

，

在和中，

，

≌，

；

過M作于于W，則，

，

，

又，

∽MNS，

：：：WA，

，

，

∽，

又，

：：：；

：，

理由：過M作于于R，

則易得∽，

：：：MX，

由，易得∽，

：：AD，

又，

：：．