Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點坐標分別是A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），對于△ABC的橫長、縱長、縱橫比給出如下定義：
將|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，稱為△ABC的橫長，記作Dx；將|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，稱為△ABC的縱長，記作Dy；將 叫做△ABC的縱橫比，記作λ= ．
例如：如圖1，

△ABC的三個頂點的坐標分別是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），則Dx=|2﹣（﹣1）|=3，Dy=|3﹣（﹣2）|=5，
所以λ= = ．
（1）如圖2，

點A（1，0），
①點B（2，1），E（﹣1，2），
則△AOB的縱橫比λ1=
△AOE的縱橫比λ2=；
②點F在第四象限，若△AOF的縱橫比為1，寫出一個符合條件的點F的坐標；
③點M是雙曲線y= 上一個動點，若△AOM的縱橫比為1，求點M的坐標；
（2）如圖3，

點A（1，0），⊙P以P（0， ）為圓心，1為半徑，點N是⊙P上一個動點，直接寫出△AON的縱橫比λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）[ "", "1", "②由點F在第四象限，若△AOF的縱橫比為1，則F（1，﹣1）（在第四象限的角平分線上即可）．", "③如圖設M（xM ， yM）．

a、當0＜xM≤1時，點M在y= 上，則yM＞0，
此時△AOM的橫長Dx=1，△AOM的縱長為Dy=yM ，
∵△AOM的縱橫比為1，
∴Dy=1，
∴yM=1或﹣1（舍棄），
∴xM= ，
∴M（ ，1）．
b、當xM＞1時，點M在y= 上，則yM＞0，
此時△AOM的橫長Dx=xM ， △AOM的縱長為Dy=yM ，
∵△AOM的縱橫比為1，
∴Dy=Dx ，
∴xM=yM
∴yM=± （舍棄），
c、當xM＜0時，點M在y= 上，則yM＜0，
此時△AOM的橫長Dx=1﹣xM ， △AOM的縱長為Dy=﹣yM ，
∵△AOM的縱橫比為1，
∴1﹣xM=﹣yM ，
∴xM= 或 （2）

解：如圖3中，

當N（0，1+ ）時，可得△AON的縱橫比λ的最大值= =1+ ，

當AN′與⊙P相切時，切點在第二象限時，可得△AON的縱橫比λ的最小值，

∵OP= ，OA=1，

∴PA=2．AN′= = ，

∴tan∠APN′= ，

∴∠APN′=60°，易知∠APO=30°，作N′H⊥OP于H．

∴∠HPN′=30°，

∴N′H= ，PH= ，

此時△AON的縱橫比λ= = ，

∴ ≤λ≤1+ ．

【解析】解：

由題意△AOB的縱橫比λ1= ，△AOE的縱橫比λ2= =1，
所以答案是 ，1
【考點精析】掌握勾股定理的概念和切線的性質定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．