Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，點A（0，﹣6），點B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角邊CD在y軸上，且點C與點A重合．Rt△CDE沿y軸正方向平行移動，當點C運動到點O時停止運動．解答下列問題：
（1）如圖（2），當Rt△CDE運動到點D與點O重合時，設CE交AB于點M，求∠BME的度數．
（2）如圖（3），在Rt△CDE的運動過程中，當CE經過點B時，求BC的長．
（3）在Rt△CDE的運動過程中，設AC=h，△OAB與△CDE的重疊部分的面積為S，請寫出S與h之間的函數關系式，并求出面積S的最大值．

Answer 1

（1）∠BME=15°；
（2BC=4；
（3）h≤2時，S=﹣h²+4h+8，
當h≥2時，S=18﹣3h．

試題分析：（1）如圖2，由對頂角的定義知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度數，需先求出∠CMA的度數．根據三角形外角的定理進行解答即可；
（2）如圖3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通過解直角△BOC就可求出BC的長度；
（3）需要分類討論：①h≤2時，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點N，作MF⊥DE交DE于點F，S=S_△EDC﹣S_△EFM；②當h≥2時，如圖3，S=S_△OBC．
試題解析：解：（1）如圖2，

∵在平面直角坐標系中，點A（0，﹣6），點B（6，0）．
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OCE=60°，
∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，
∴∠BME=∠CMA=15°；
如圖3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∵OB=6，
∴BC=4；
（3）①h≤2時，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點N，作MF⊥DE交DE于點F，

∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，
∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，
∵△CMN∽△CED，
∴，
∴，
解得FM=4﹣，
∴S=S_△EDC﹣S_△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h²+4h+8，
②如圖3，當h≥2時，
S=S_△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．