Question

【題目】如圖，A，B是直線l上的兩點，AB=4厘米，過l外一點C作CD∥l，射線BC與l所組成的銳角為60°，線段BC=2厘米，動點P、Q分別從B、C同時出發，P以1厘米/秒的速度，沿由B向C的方向運動；Q以2厘米/秒的速度，沿由C向D的方向運動，設P、Q運動的時間為t秒，當t＞2時，PA交CD于點E．
（1）用含t的代數式分別表示CE和QE的長；
（2）求△APQ的面積s與t的函數表達式；
（3）當QE恰好平分△APQ的面積時，QE的長是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知：BP=t，CQ=2t，PC=t﹣2．

∵EC∥AB，

∴ = ，

∴EC= = ，

∴QE=QC﹣EC=2t﹣ = ；

（2）解：如圖，作PF⊥L于F，交DC延長線于M，AN⊥CD于N．

在△PBF中，PF=PBsin60°= t，

∴S△APQ=S△AQE+S△PQE

= QEAN+ QEPM= QEPF

= × × t= （t2﹣2t+4）；

（3）解：此時，E為PA的中點，所以C也是PB的中點，

則t﹣2=2，

∴t=4，

∴QE= = =6（厘米）．

【解析】（1）根據題意得出BP=t，CQ=2t，PC=t﹣2，再根據EC∥AB，得出 = ，最后得出EC的值，即可表示出CE和QE的長；（2）以QE為底邊，過P引l的垂線作高，根據P的速度可以用t表示出BP，也就能用BP和∠1的正弦函數求出高，那么關鍵是求QE的長，我們可以根據Q的速度用時間t表示出CQ，那么只要求出CE即可．用相似三角形的對應線段成比例來求CE的長，根據三角形PEC和三角形PAB相似，可得出關于CE、AB、PC、BC的比例式，由BP、BC、AB的值，可以用含t的式子表示出CE，也就表示出了QE，那么可根據三角形的面積公式，得出關于S與t的函數關系式；（3）如果QE恰好平分三角形APQ的面積，那么此時P到CD和CD到l之間的距離就相等，那么C就是PB的中點，可根據BP=2BC求出t的值，然后根據（1）中得出的表示QE的式子，將t代入即可得出QE的值即可．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質和解直角三角形，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)即可以解答此題．