Question

【題目】已知：正方形ABCD的邊長為4cm，點E從點A出發沿AD方向以1cm/秒的速度運動，與此同時，點F也從點D出發沿DC方向相同的速度運動，記運動的時間為t（0≤t≤4），AF與BE交于P點．
（1）如圖，在運動過程中，AF與BE相等嗎？請說明理由．
（2）在運動過程中，要使得△BPC是等腰三角形，t應為何值？請畫出圖形，并求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

【答案】
（1）解：結論：AF=BE，

證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAE=∠D=90°，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF，

∴BE=AF．

（2）解：①如圖2中，

當CP=CB時，作CM⊥BE垂足為O，交AB于M．

∵△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF，

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°

∴∠APE=90°，

∴AF⊥BE，

∴OM∥AP，

∵OP=OB，

∴AM=BM，

∵∠ABE+∠AEB=90°∠ABE+∠CMB=90°，

∴∠AEB=∠CMB，

在△ABE和△CBM中，

，

∴△ABE≌△CBM，

∴AE=BM=2，

∴t=2，

②如圖3中，

當點E運動到與點D重合，點F運動到與點C重合時，△PBC是等腰三角形，此時t=4，

③當t=0時，點E在點A處，點F在點D處，則AF于BE的交點P于點A重合，此時，△BPC顯然是等腰直角三角形

∴t=0或2或4時，△BPC是等腰三角形

【解析】（1）結論：AF=BE，只要證明△ABE≌△DAF即可．（2）分兩種情形討論：①如圖2中，當CP=CB時，作CM⊥BE垂足為O，交AB于M，先證明AM=BM，再證明△ABE≌△CBM即可，②如圖3中，當點E運動到與點D重合，點F運動到與點C重合時，△PBC是等腰三角形，求出t即可．
【考點精析】關于本題考查的等腰三角形的判定和正方形的性質，需要了解如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．