Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點M在BA的延長線上，MD切⊙O于點D，過點B作BN⊥MD于點C，連接AD并延長，交BN于點N．

（1）求證：AB=BN；

（2）若MD=4,CD=2.4，求 。

（3）若AM=2，CN=1.2,求⊙O的半徑長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）3

【解析】

（1）連接OD，由MD切⊙O于點D，得到OD⊥MD，由于BN⊥MC，得到OD∥BN，得出∠ADO=∠N，根據等腰三角形的性質和等量代換可得結果；（2）利用題目條件證明△ADH≌△NDC，從而得到DH=DC=2.4，MH=4-2.4=1.6，MC=4+2.4=6.4，然后利用平行線分線段成比例定理求得的值；（3）設圓的半徑為x，由題目條件證得OD∥AH，然后得到△MAH∽△MOD，根據相似三角形的性質列出比例式求解.

解：（1）連接OD

∵MD切⊙O于點D

∴OD⊥MD

又∵BN⊥MD于點C

∴OD∥BN

∴∠ADO=∠N

又∵OD=OA

∴∠OAD=∠ADO

∴∠OAD=∠N

∴AB=BN；

（2）過點A作AH⊥MC

∵OD∥BN

∴

∴OD=DN

又∵AH⊥MC，BN⊥MD

∴AH∥BN

∴∠HAD=∠N

又∵∠ADH=∠NDC

∴△ADH≌△NDC

∴DH=DC=2.4，MH=4-2.4=1.6，MC=4+2.4=6.4

∴

（3）設⊙O的半徑為x，

∵MD切⊙O于點D

∴OD⊥MD

又∵AH⊥MC，

∴OD∥AH

∴△MAH∽△MOD

∴

又∵△ADH≌△NDC

∴AH=CN=1.2

∴

得x=3，

經檢驗x=3是原分式方程的解

即⊙O的半徑為3