Question

【題目】在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成的矩形的周長與面積相等，則稱這個點為“美好點”，如圖，過點P分別作x軸，y軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形OAPB的周長與面積相等，則P為“美好點”．

（1）在點M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好點”的有　 　；

（2）若“美好點”P（a，﹣3）在直線y＝x+b（b為常數）上，求a和b的值；

（3）若“美好點”P恰好在拋物線y＝x2第一象限的圖象上，在x軸上是否存在一點Q使得△POQ為直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）N、Q；（2）a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；（3）存在，點Q的坐標為（6，0）或（，0）．

【解析】

（1）根據“美好點”的定義逐個驗證即可；
（2）對于P點，對應圖形的周長為：2×（|a|+3）=2|a|+6，面積為3|a|，因為點P是“美好點”，故2|a|+6=3|a|，即可求解；
（3）根據點P是“美好點”確定點P的坐標，設點Q的坐標為（x，0），再分以下三種情況：當∠POQ=90°時，此種情況不存在；當∠PQO=90°時，則PO2=PQ2+OQ2；當∠OPQ=90°時，則OQ2=PQ2+OP2，分別列出關于x的方程，解得x即可．

解：（1）對于M點，對應圖形的周長為：2×（2+2）＝8，面積為2×2＝4≠8，故點M不是“美好點”；

對于點N，對應圖形的周長為：2×（4+4）＝16，面積為4×4＝16，故點N是“美好點”；

對于點Q，對應圖形的周長為：2×（6+3）＝18，面積為6×3＝18，故點Q是“美好點”；

故答案為：N、Q；

（2）對于P點，對應圖形的周長為2×（|a|+3）＝2|a|+6，面積為3|a|，

∵點P是“美好點”，

∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6，

將P（a，﹣3）代入y＝x+b得：﹣3＝a+b，則b＝﹣3﹣a，

∴當a=6時，b=-9；當a=-6時，b=3，

故a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；

（3）存在，理由如下：

設點P的坐標為（m，n），則n＝m2（m＞0，n＞0），

由題意得：2m+2n＝mn，∴2m+m2＝m3，

解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去），

故點P的坐標為（6，3）；

設點Q的坐標為（x，0），

則PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9，

PO2＝36+9＝45，

OQ2＝x2，

當∠POQ=90°時，∵點Q在x軸上，則∠POQ≠90°，此種情況不存在；

當∠PQO=90°時，則PO2=PQ2+OQ2，∴45=（x﹣6）2+9+ x2，解得x＝6或x=0（舍去）；

當∠OPQ=90°時，則OQ2=PQ2+OP2，∴x2=（x﹣6）2+9+45，解得x＝；

綜上所述，符合條件的點Q的坐標為：（6，0）或（，0）．