Question

【題目】如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)作軸，垂足為．如果以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是________．

Answer 1

【答案】，，．

【解析】

根據(jù)拋物線的解析式，易求得A（-1，0），D（1，0），C（0，-1）；則△ACD是等腰直角三角形，由于AP∥DC，可知∠BAC=90°；根據(jù)D、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出直線DC的解析式，而AB∥DC，則直線AB與DC的斜率相同，再加上A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線AB的解析式，聯(lián)立直線AB和拋物線的解析式，可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出AB、AC的長(zhǎng)．在Rt△ABC和Rt△AMG中，已知了∠BAC=∠AGM=90°，若兩三角形相似，則直角邊對(duì)應(yīng)成比例，據(jù)此可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

易知：A(1,0),D(1,0),C(0,1)；

則OA=OD=OC=1，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACD=90°,AC=；

又∵AB∥DC，

∴∠BAC=90°；

易知直線BD的解析式為y=x1，

由于直線AB∥DC,可設(shè)直線AB的解析式為y=x+b,由于直線AB過(guò)點(diǎn)A(1,0)；

則直線AB的解析式為：y=x+1，

聯(lián)立拋物線的解析式：，

解得,；

故B(2,3)；

∴AP==3；

Rt△BAC和Rt△AMG中,∠AGM=∠PAC=90°,且BA:AC=3: =3:1；

若以A.M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△BCA相似，則AG:MG=1:3或3:1；

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m21),(m<1或m>1)

則有：MG=m21，AG=|m+1|；

①當(dāng)AM:MG=1:3時(shí),m21=3|m+1|,m21=±(3m+3)；

當(dāng)m21=3m+3時(shí),m23m4=0,解得m=1(舍去)，m=4；

當(dāng)m21=3m3時(shí),m2+3m+2=0,解得m=1(舍去)，m=2；

∴M1(4,15),M2(2,3)；

②當(dāng)AM:MG=3:1時(shí),3(m21)=|m+1|,3m23=±(m+1)；

當(dāng)3m23=m+1時(shí),3m2m4=0,解得m=1(舍去),m=；

當(dāng)3m23=m1時(shí),3m2+m2=0,解得m=1(舍去),m=(舍去)；

∴M3(,).

故符合條件的M點(diǎn)坐標(biāo)為：(4,15),(2,3), (,).

故答案為：:(4,15),(2,3), (,).