【題目】如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，點E、F分別為AC、BC的中點。
（1） 求證：四邊形EFCD是菱形；（2）如果AB=10，求D、F兩點間的距離。
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
試題分析：（1）利用三角形的中位線定理即可得到四邊形EFCD的四邊相等，即可證得；
（2）連接DF，與EC相交于點G，△EFC是等邊三角形，則△EFG是直角三角形，利用三角函數即可求得GF的長，根據DF=2GF即可求得．
試題解析：（1）∵△ABC與△CDE都是等邊三角形
∴ AB=AC=BC，ED=DC=EC
∵ 點E、F分別為AC、BC的中點
∴EF= 
，EC= 
, FC=
∴EF=EC=FC
∴EF=FC=ED=DC，
∴四邊形EFCD是菱形．
（2）連接DF，與EC相交于點G，
∵四邊形EFCD是菱形
∴DF⊥EC，FD=2FG
∵EF= =5, EG=
EC=
,
由勾股定理得：FG=
，則FD=
亮點激活精編提優100分大試卷系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，O是AC的中點，AD//BC，AC=8,BD=6.
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AC⊥BD，求□ABCD的面積.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點，BE交AC于點F，連接DF.
(1)求證：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；
(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使∠EFD＝∠BCD，并說明理由．
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【題目】如圖，已知△ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且BF=4CF，四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
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【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）求DE的長．
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【題目】從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線于對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．
（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數．
（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC= 
，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．
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【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點，BE交AC于點F，連接DF.
(1)求證：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；
(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使∠EFD＝∠BCD，并說明理由．
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【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4 cm，E為CD中點．點P從A點出發，沿A—B—C的方向在矩形邊上勻速運動，速度為1 cm /s，運動到C點停止.設點P運動的時間為t s.（圖2為備用圖）
（1）當P在AB上，t為何值時，△APE的面積是矩形ABCD面積的
？
（2）在整個運動過程中，t為何值時，△APE為等腰三角形？
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