Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAB，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，

∴∠ODA=∠DAE，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O切線

（2）

解：過點O作OF⊥AC于點F，

∴AF=CF=3，

∴OF= = =4．

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，

∴四邊形OFED是矩形，

∴DE=OF=4．

【解析】（1）連接OD，欲證明DE是⊙O的切線，只要證明OD⊥DE即可．（2）過點O作OF⊥AC于點F，只要證明四邊形OFED是矩形即可得到DE=OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．本題考查切線的判定、矩形的判定和性質、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是記住切線的判定方法，學會添加常用輔助線，屬于基礎題，中考常考題型．