Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A，B，C為坐標軸上的三點，且OA=OB=OC=4，過點A的直線AD交BC于點D，交y軸于點G，△ABD的面積為8．過點C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足為E．

（1）求D點的坐標；
（2）求證：OF=OG；
（3）在第一象限內是否存在點P，使得△CFP為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，作DH⊥x軸于H，

∵OA=OB=OC=4，

∴AB=8，B（4，0），C（0，4），

設BC的解析式為y=kx+b，

把B，C兩點代入得 ，解得： ，

∴BC的解析式為y=﹣x+4，

∵△ABD的面積為8，AB=8，

∴DH=2，

所以D點的縱坐標為2，

把y=2代入y=﹣x+4得：x=2，

∴D（2，2）；

（2）

解：∵CE⊥AD，

∴∠CEG=∠AOG=90°，

又∵∠AGO=∠CGE，

∴△AGO～△CGE，

∴∠GAO=∠GCE，

在△COF與△AOG中， ，

∴△COF≌△AOG，

∴OF=OG；

（3）

解：存在，∵A（﹣4，0），D（2，2），

∴直線AD的解析式為y= x+ ，

∴OG= ，

∴OF=OG= ，

①如圖2，當∠CFP=90°，FP=FC時，

過P作PH⊥x軸于H，

∴∠PHF=∠COF=90°，

∴∠OCF+∠OFC=∠OFC+∠PFH=90°，∴∠OCF=∠PFH，

在△COF與△PFH中， ，∴△COF≌△PFH，∴PH=OF= ，FH=OC=4，

∴OH= ，

∴P1（ ， ）；

②如圖3，當∠PCF=90°，CP=FC時，同理證得△PHC≌△CFO，

∴PH=OC=4，CH=OF= ，

∴OH= ，

∴P2（4， ）；

③如圖4，當∠CPF=90°，PC=PF時，

過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，

∴四邊形PNOM是矩形，

∴∠NPM=90°，

∴∠CPN+∠NPF=∠NPF+∠FPM=90°，

∴∠CPN=∠FPM，

在△CPN與△FPM中， ，

∴△PNC≌△PMF，

∴PN=PM，CN=FM，

∴矩形PNOM是正方形，

∴ON=OM，

∴4﹣CN= +CN，

∴CN=CM= ，

∴PN=PM= ，

∴P3（ ， ），

綜上所述：P的坐標為（ ， ），（4， ），（ ， ）．

【解析】（1）根據已知條件得到AB=8，B（4，0），C（0，4），待定系數法求得BC的解析式為y=﹣x+4，根據三角形的面積得到DH=2，即可得到結論；（2）根據已知條件得到△AGO～△CGE，由相似三角形的性質得到∠GAO=∠GCE，根據全等三角形的性質即可得到結論；（3）根據直線AD的解析式y= x+ ，求得OF=OG= ，①如圖2，當∠CFP=90°，FP=FC時，過P作PH⊥x軸于H，根據全等三角形的性質得到PH=OF= ，FH=OC=4，于是得到P1（ ， ）；②如圖3，當∠PCF=90°，CP=FC時，根據全等三角形的性質得到PH=OC=4，CH=OF= ，于是得到P2（4， ）；③如圖4，當∠CPF=90°，PC=PF時，根據全等三角形的性質得到PN=PM，CN=FM，根據ON=OM，列方程得到CN=CM= ，于是得到P3（ ， ）．