Question

6．問題探究：
（1）如圖①，△ABC為等腰三角形，AB=AC=a，∠BAC=120°，則△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$（用含a的代數式表示）
（2）如圖②，△AOD與△BOC為兩個等腰直角三角形，兩個直角頂點O重合，OA=OB=OC=OD=a．若△AOD與△BOC不重合，連接AB，CD，求四邊形ABCD面積最大值．
問題解決：
如圖③，點O為某電視臺所在位置，現要在距離電視臺5km的地方修建四個電視信號中轉站，分別記為A、B、C、D．若要使OB與OC夾角為150°，OA與OD夾角為90°（∠AOD與∠BOC不重合且點O、A、B、C、D在同一平面內），則符合題意的四個中轉站所圍成的四邊形面積有無最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 問題探究：（1）根據等腰三角形的性質，求得底邊上的高，進而得到△ABC的面積；
（2）過點C作CE⊥OD于E，則CE≤CO，當點E與點O重合時，CE=CO=a，此時∠COD=90°，即△COD是等腰直角三角形，進而得到四邊形ABCD是正方形，再根據OA=OB=OC=OD=a，求得四邊形ABCD的面積即可；
問題解決：將△COD繞著點O按順時針方向旋轉150°，得到△BOE，過A作AG⊥OB于G，過E作EF⊥OB于F，連接AE交OB于H，則AG≤AH，EF≤EH，當點G、點F都與點H重合時，AG+EF=AE（最大），而OB長不變，故四邊形ABEO的面積最大，此時OB⊥AE，進而得出△AOB和△COD都是等邊三角形，最后根據△AOB和△COD的面積都為：$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}\sqrt{3}$=$\frac{25}{4}\sqrt{3}$，△AOD的面積為：$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，△BOC的面積為：$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$，求得四邊形ABCD的面積的最大值．

解答 解：問題探究：
（1）如圖①，過A作AD⊥BC于D，則
Rt△ABD中，AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BC=$\sqrt{3}$a，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$a×$\frac{1}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$；

（2）如圖②，過點C作CE⊥OD于E，則CE≤CO，
當點E與點O重合時，CE=CO=a，
此時∠COD=90°，即△COD是等腰直角三角形，
∴∠AOB=360°-3×90°=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴四邊形ABCD是正方形，
∵OA=OB=OC=OD=a，
∴AB=BC=CD=AD=$\sqrt{2}$a，
∴四邊形ABCD面積最大值為：（$\sqrt{2}$a）²=2a²；

問題解決：四邊形ABCD面積有最大值．
如圖所示，將△COD繞著點O按順時針方向旋轉150°，得到△BOE，
∵OB與OC夾角為150°，OA與OD夾角為90°，
∴∠AOB+∠COD=120°，
∴∠AOB+∠BOE=120°，
即∠AOE=120°，
過A作AG⊥OB于G，過E作EF⊥OB于F，連接AE交OB于H，則AG≤AH，EF≤EH，
∴當點G、點F都與點H重合時，AG+EF=AE（最大），而OB長不變，故四邊形ABEO的面積最大，
此時，OB⊥AE，
又∵OA=OE，
∴等腰三角形AOE中，OH平分∠AOE，
∴∠AOB=60°，∠COD=60°，
又∵OA=OB=OC=OD=5，
∴△AOB和△COD都是等邊三角形，
∵△AOB和△COD的面積都為：$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}\sqrt{3}$=$\frac{25}{4}\sqrt{3}$，
△AOD的面積為：$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，
△BOC的面積為：$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{25}{4}\sqrt{3}$×2+$\frac{25}{2}$+$\frac{25}{4}$=$\frac{25}{2}\sqrt{3}$+$\frac{75}{4}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質以及三角形的面積計算的綜合應用，解決問題的關鍵是作垂線，構造直角三角形，根據垂線段最短進行判斷．解題時注意旋轉變換的運用，注意旋轉前、后的圖形全等．