Question

如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D.

（1）當∠BQD＝30°時，求AP的長；
（2）在運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由.

Answer 1

（1）2  （2）不會改變，理由見解析

解：（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
設AP＝x，則PC＝6－x，QB＝x，
∴QC＝QB＋BC＝6＋x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6－x＝（6＋x），解得x＝2；
（2）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變.理由如下：
作QF⊥AB，交AB的延長線于點F，連接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵點P、Q做勻速運動且速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A＝∠FBQ，∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
∴
∴△APE≌△BQF，
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴DE＝EF，
∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB，
∴DE＝AB，
又∵等邊△ABC的邊長為6，
∴DE＝3，
∴當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變.