Question

【題目】如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E，D，交OA于點F，連接EF并延長EF交AB于G，且EG⊥AB．

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；

（2）若EF=2FG，AB= ，求圖中陰影部分的面積；

（3）若EG=9，BG=12，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3） ．

【解析】

（1）連接OE，由OA＝OB，CA＝CB，根據等腰三角形的性質得到OC⊥AB，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）過O點作OH⊥EG于H，則EH＝FH，由EF＝2FG，得到EHEG，又OH∥BG，根據平行線分線段成比例定理得到EH：EG＝EO：EB，BO＝2OE，則OB＝2OC，得到∠B＝30°，而BCAB＝6，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到OCBC＝6，然后根據三角形和扇形的面積公式利用S陰影部分＝S△OAB﹣S扇形OFD計算即可；

（3）利用勾股定理得到BE的長，設⊙O的半徑為r，易證Rt△BOC∽Rt△BEG，由相似三角形的性質得到BCr，BOr，則15﹣rr，求出r，利用BD＝BE﹣ED計算即可．

（1）連接OC，如圖，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∴直線AB是⊙O的切線；

（2）過O點作OH⊥EG于H，如圖，∵OE＝OF，∴EH＝FH．

∵EF＝2FG，∴EHEG，而EG⊥AB，∴OH∥BG，∴EH：EG＝EO：EB，∴BO＝2OE，∴OB＝2OC，∴∠B＝30°，∠COB＝60°．

而BCAB＝6，∴OCBC＝6，∴S陰影部分＝S△OAB﹣S扇形OFD126＝3612π；

（3）在Rt△BEG中，EG＝9，BG＝12，∴BE15，設⊙O的半徑為r，則OB＝15﹣r．

∵OC∥EG，∴Rt△BOC∽Rt△BEG，∴OC：EG＝BC：BG＝BO：BE，即r：9＝BC：12＝BO：15，∴BCr，BOr，∴15﹣rr，解得：r，∴BD＝BE﹣ED＝15﹣2．