Question

【題目】已知拋物線y＝﹣x2﹣（m+3）x+m2﹣12與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且x1＜0，x2＞0，拋物線與y軸交于點C，OB＝2OA．

（1）求拋物線解析式；

（2）已知直線y＝x+2與拋物線相交于M、N兩點，分別過M、N作x軸的垂線，垂足為M1、N1，是否存在點P，同時滿足如下兩個條件：

①P為拋物線上的點，且在直線MN上方；

②:＝6：35

若存在，則求點P橫坐標t，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4 （2）存在，t＝或t＝﹣1

【解析】

（1）先求出x2＝﹣2x1，再令y＝0，用根與系數的關系得出x1+x2＝﹣2（m+3），x1x2＝﹣2（m2﹣12），即可得出結論；

（2）先求出M，N的坐標，進而求出梯形MM1N1N的面積，即可求出三角形PMN的面積，進而求出t的值，最后判斷即可得出結論．

解：（1）∵A（x1，0）、B（x2，0）且x1＜0，x2＞0，

∴OA＝﹣x1，OB＝x2，

∵OB＝2OA，

∴x2＝﹣2x1，

∵拋物線y＝﹣x2﹣（m+3）x+m2﹣12與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，

令y＝0，

∴0＝﹣x2﹣（m+3）x+m2﹣12，

∴x2+2（m+3）x﹣2（m2﹣12）＝0，

根據根與系數關系得，x1+x2＝﹣2（m+3），x1x2＝﹣2（m2﹣12），

∴﹣x1＝﹣2（m+3），﹣2x12＝﹣2（m2﹣12），

∴4（m+3）2＝m2﹣12，∴m＝﹣4，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+4；

（2）如圖，由（1）知，拋物線解析式為y＝﹣x2+x+4①，

∴直線y＝x+2②與拋物線相交于M、N兩點，

聯立①②解得， 或，

∴N（，），M（，），

∴MM1＝，NN1＝，M1N1＝，

∴S梯形MM1N1N＝（MM1+NN1）×M1N1＝，

∵:＝6：35，

∴S△PMN＝，

設P（t，﹣t2+t+4），（＜t＜），

∴Q（t， t+2），

∴PQ＝﹣t2+t+4﹣t﹣2＝﹣t2+t+2，

∴S△PMN＝PQM1N1＝（﹣t2+t+2）×＝，

∴2t2﹣3t﹣5＝0，

∴t＝或t＝﹣1，都符合題，

即：點P橫坐標t＝或t＝﹣1．

注：【利用估算的方法將t的范圍縮放】

∵8.5＜ ＜8.6，

∴﹣1.4＜＜﹣1.3，

2.875＜＜2.9，

∵＜t＜，

∴﹣1.3＜t＜2.875．