Question

19．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點B，C，與直線AC：y=-x-6交y軸于點A，點M是拋物線的頂點，且橫坐標為-2．
（1）求出拋物線的表達式．
（2）判斷△ACM的形狀并說明理由．
（3）直線CM交y軸于點F，在直線CM上是否存在一點P，使∠CMA=∠PAF，若存在，求出P的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得A、C的坐標，再結合對稱軸為x=-2可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得M點坐標，利用勾股定理可求得AC、MC、AM的長，則可判斷△ACM的形狀；
（3）可設出P點坐標，由條件可證明△APF～△MPA，根據相似三角形的性質可得到關于P點坐標的方程，則可求得P點坐標．

解答 解：
（1）在y=-x-6中，令x=0可得y=-6，令y=0可求得x=-6，
∴A（0，-6），C（-6，0），
∵頂點橫坐標為-2，
∴對稱軸為x=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{36a-6b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6；
（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6=$\frac{1}{2}$（x+2）²-8，
∴M（-2，-8），
∵A（0，-6），C（-6，0），
∴AM=$\sqrt{（0+2）^{2}+（-6+8）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{（-2+6）^{2}+（-8）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，AC=6$\sqrt{2}$，
∴AC²+AM²=72+8=80=CM²
∴△ACM為直角三角形；
（3）設直線CM的解析式為y=kx+b，
∵直線CM過C（-6，0）、M（-2，-8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{-2k+b=-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
∴直線CM解析式為y=-2x-12，
∴可設P點坐標為（n，-2n-12），且F（0，-12），
∴AP=$\sqrt{{n}^{2}+（-2n-12+6）^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}+24n+36}$，PF=$\sqrt{{n}^{2}+（-2n-12+12）^{2}}$=$\sqrt{5}$|n|，AF=-6-（-12）=6，且AM=2$\sqrt{\sqrt{2}}$，
∵∠CMA=∠MAF+∠AFM，∠PAF=∠MAF+∠PAM，且∠CMA=∠PAF，
∴∠AFM=∠PAM，
又∠APF=∠MPA，
∴△APF～△MPA，
∴$\frac{PF}{AP}$=$\frac{AF}{AM}$，$\frac{\sqrt{5}|n|}{\sqrt{5{n}^{2}+24n+36}}$=$\frac{6}{2\sqrt{2}}$，
整理可得35n²+216n+324=0，解得n=-$\frac{18}{5}$或n=-$\frac{18}{7}$，
此時P點坐標為（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{24}{5}$）或（-$\frac{18}{7}$，-$\frac{48}{7}$），
當P點坐標為（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{24}{5}$）時，P點縱坐標大于A點縱坐標，
∴∠PAF為鈍角，不合題意，舍去，
綜上可知存在滿足符合條件的P點，其坐標分別為（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{24}{5}$）或（-$\frac{18}{7}$，-$\frac{48}{7}$）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的性質、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性質及方程思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中求得AM、CM和AC的長是解題的關鍵，在（3）中用P點的坐標表示出相應線段的長，根據相似三角形的性質得到關于P點坐標的方程是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．