Question

【題目】菱形ABCD的邊長是4，∠DAB=60，點M，N分別在邊AD，AB上，MN⊥AC，垂足為P，把△AMN沿MN折疊得到△A'MN，若△A'DC恰為等腰三角形，則AP的長為_____。

Answer 1

【答案】，

【解析】解：設AP=x，則A′P=AP=x．∵菱形ABCD的邊長是4，∠DAB=60，∴菱形較短的對角線為4，較長的對角線AC=，∴A′C=．∵△A'DC為等腰三角形，∴分三種情況討論：

①A′C=DC，即=4，解得：x=；

②DC=DA′．∵DC=4，∴DA′=4，此時A′與A重合，此種情況不成立；

③DA′=CA′=．∵ABCD是菱形，∠DAB=60，∴∠DCA=30°，過A′作A′F⊥DC于F．∵DA′=CA′，∴DF=FC=2，∴A′F=，∴A′C=2 A′F=，

∴=，解得：x=．

綜上所述：AP的長為或．

故答案為： 或．