Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點P（0，4），點A在線段OP上，點B在x軸正半軸上，且AP=OB=t， 0＜t＜4，以AB為邊在第一象限內作正方形ABCD；過點C、D依次向x軸、y軸作垂線，垂足為M，N，設過O，C兩點的拋物線為y=ax²+bx+c．
（1）填空：△AOB≌△       ≌△BMC（不需證明）；用含t的代數式表示A點縱坐標：A（0，       ；
（2）求點C的坐標，并用含a，t的代數式表示b；
（3）當t=1時，連接OD，若此時拋物線與線段OD只有唯一的公共點O，求a的取值范圍；
（4）當拋物線開口向上，對稱軸是直線，頂點隨著t的增大向上移動時，求t的取值范圍．

Answer 1

（1）DNA或△DPA；；（2）C（4，t），；（3）a＞0或a＜或＜a＜0；（4）
0＜t≤．

試題分析：（1）根據全等三角形的判定定理SAS證得：△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC；根據圖中相關線段間的和差關系來求點A的坐標：
∵∠DNA=∠AOB=90°，∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．
在△AOB與△DNA中，∵，∴△AOB≌△DNA（SAS）.
同理△DNA≌△BMC.
∵點P（0，4），AP=t，∴．
（2）利用（1）中的全等三角形的對應邊相等易推知：OM=OB+BM=t+=4，則C（4，t）．把點O、C的坐標分別代入拋物線y=ax²+bx+c可以求得確.
（3）利用待定系數法求得直線OD的解析式．與拋物線聯立方程組，解得x=0或．
對于拋物線的開口方向進行分類討論，即a＞0和a＜0兩種情況下的a的取值范圍.
（4）根據拋物線的解析式得到頂點坐標是．結合已知條件求得a=，故頂點坐標為．由拋物線的性質知：只與頂點坐標有關，故t的取值范圍為：0＜t≤．
試題解析：解：（1）DNA或△DPA；.
（2）由題意知，NA=OB=t，則OA=．
∵△AOB≌△BMC，∴CM="OB=t." ∴OM=OB+BM=t+="4." ∴C（4，t）．
又拋物線y=ax²+bx+c過點O、C，
∴，解得.
（3）當t=1時，拋物線為，NA=OB=1，OA=3．
∵△AOB≌△DNA，∴DN=OA=3.
∵D（3，4），∴直線OD為：．
聯立方程組，得，消去y，得，
解得，x=0或.
所以，拋物線與直線OD總有兩個交點．
討論：①當a＞0時，＞3，只有交點O，所以a＞0符合題意；
②當a＜0時，若＞3，則a＜；
若＜0，則得a＞．∴＜a＜0．
綜上所述，a的取值范圍是a＞0或a＜或＜a＜0．
（4）∵拋物線為，∴頂點坐標是．
又∵對稱軸是直線x=，∴a=.
∴頂點坐標為：，即．
∵拋物線開口向上，且隨著t的增大，拋物線的頂點向上移動，
∴只與頂點坐標有關，∴t的取值范圍為：0＜t≤．