Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+4與x軸的一個交點為A（-2，0），與y軸的交點為C，對稱軸是x=3，對稱軸與x軸交于點B．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）經過B，C的直線l平移后與拋物線交于點M，與x軸交于點N，當以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求出點M的坐標；
（3）若點D在x軸上，在拋物線上是否存在點P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線為y=-x²+x+4．（2）M的坐標為（6，4）或（3-，-4）或（3+，-4）．（3）點P的坐標為（4+，）或（4-，）或（-1+，-8+2）或（-1-，-8-2）．

試題分析：（1）解析式已存在，y=ax²+bx+4，我們只需要根據特點描述求出a，b即可．由對稱軸為-，又過點A（-2，0），所以函數表達式易得．
（2）四邊形為平行四邊形，則必定對邊平行且相等．因為已知MN∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置關系，則可分2種情形，①N點在M點右下方，即M向下平行4個單位，向右2個單位與N重合；②M點在N右下方，即N向下平行4個單位，向右2個單位與M重合．因為M在拋物線，可設坐標為（x，-x²+x+4），易得N坐標．由N在x軸上，所以其縱坐標為0，則可得關于x的方程，進而求出x，求出M的坐標．
（3）使△PBD≌△PBC，易考慮∠CBD的平分線與拋物線的交點．確定平分線可因為BC=BD，可作等腰△BCD，利用三線合一，求其中線所在方程，進而與拋物線聯立得方程組，解出P即可．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+4交x軸于A（-2，0），
∴0=4a-2b+4，
∵對稱軸是x=3，
∴-=3，即6a+b=0，
兩關于a、b的方程聯立解得 a=-，b=，
∴拋物線為y=-x²+x+4．
（2）∵四邊形為平行四邊形，且BC∥MN，
∴BC=MN．
①N點在M點右下方，即M向下平移4個單位，向右平移2個單位與N重合．
設M（x，-x²+x+4），則N（x+2，-x²+x），
∵N在x軸上，
∴-x²+x=0，
解得 x=0（M與C重合，舍去），或x=6，
∴x_M=6，
∴M（6，4）．
②M點在N右下方，即N向下平行4個單位，向右2個單位與M重合．
設M（x，- x²+x+4），則N（x-2，-x²+x+8），
∵N在x軸上，
∴-x²+x+8=0，
解得 x=3-，或x=3+，
∴x_M=3-，或3+．
∴M（3-，-4）或（3+，-4）
綜上所述，M的坐標為（6，4）或（3-，-4）或（3+，-4）．
（3）∵OC=4，OB=3，
∴BC=5．
如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，
∵D在x軸上，
∴D為（-2，0）或（8，0）．
①當D為（-2，0）時，連接CD，過B作直線BE平分∠DBC交CD于E，交拋物線于P₁，P₂，
此時△P₁BC≌△P₁BD，△P₂BC≌△P₂BD，
∵BC=BD，
∴E為CD的中點，即E（-1，2），
設過E（-1，2），B（3，0）的直線為y=kx+b，則，
解得，
∴BE：y=-x+．
設P（x，y），則有，
解得 ，或，
則P₁（4+，），P₂（4-，）．
②當D為（8，0）時，連接CD，過B作直線BF平分∠DBC交CD于F，交拋物線于P₃，P₄，
此時△P₃BC≌△P₃BD，△P₄BC≌△P₄BD，
∵BC=BD，
∴F為CD的中點，即E（4，2），
設過E（4，2），B（3，0）的直線為y=kx+b，則，
解得 ，
∴BF：y=2x-6．
設P（x，y），則有，
解得 或 ，
則P₃（-1+，-8+2），P₄（-1-，-8-2）．
綜上所述，點P的坐標為（4+，）或（4-，）或（-1+，-8+2）或（-1-，-8-2）．
【考點】二次函數綜合題．