Question

如圖，拋物線經過點A（1，0），B（5，0），C（0，）三點，設點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方，四邊形OEBF是以OB為對角線的平行四邊形．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當點E（x，y）運動時，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數關系式，并求出面積S的最大值？
（3）是否存在這樣的點E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求E點，F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：y=x²﹣4x+；
（2）S與x之間的函數關系式為：S=﹣x²+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值為；
（3）存在點E（，﹣），使平行四邊形OEBF為正方形，此時點F坐標為（，）．

試題分析：（1）由拋物線經過點A（1，0），B（5，0），C（0，）三點，利用待定系數法求二次函數的解析式；
（2）由點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示點E到OA的距離，又由S=2S_△OBE=2××OB•|y|，即可求得平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，結合圖象，求得自變量x的取值范圍；
（3）由當OB⊥EF，且OB=EF時，平行四邊形OEBF是正方形，可得此時點E坐標只能（，﹣），而坐標為（，﹣）點在拋物線上，故可判定存在點E，使平行四邊形OEBF為正方形．
試題解析：（1）設所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線經過點A（1，0），B（5，0），C（0，）三點，則由題意可得：
，解得．
∴所求拋物線的解析式為：y=x²﹣4x+；
（2）∵點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方，
∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示點E到OA的距離．
∵OB是平行四邊形OEBF的對角線，
∴S=2S_△OBE=2××OB•|y|=﹣5y=﹣5（x²﹣4x+）=﹣x²+20x﹣，
∵S=﹣（x﹣3）²+
∴S與x之間的函數關系式為：S=﹣x²+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值為；
（3）∵當OB⊥EF，且OB=EF時，平行四邊形OEBF是正方形，
∴此時點E坐標只能（，﹣），而坐標為（，﹣）點在拋物線上，
∴存在點E（，﹣），使平行四邊形OEBF為正方形，
此時點F坐標為（，）．