Question

【題目】已知拋物線開口向下，與軸交于點，頂點坐標為，與軸的交點在，之間（包含端點），則下列結論：

①；②；③對于任意實數，總成立；

④關于的方程有兩個不相等的實數根.

其中結論正確的個數是（ ）

A. 1個B. 2個

C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

由拋物線與y軸的交點位置、對稱軸方程可對①進行判斷，并能求出另一個交點為（3,0），將代入方程可得a+b+c=0,得到c=-3a，再由軸的交點在，之間（包含端點），可知2≤c≤3從而得到②;根據題意可知x=1時函數取得最大值，則a+b+c≥am2+bm+c從而可以判斷③；因為二次函數的最大值為n，而n-1<n，所以與y=n-1這條直線有兩個交點，可以判斷④.

∵拋物線頂點坐標為，

∴ ，

∴，故①正確；

∵拋物線與軸交于點，

∴a+b+c=0，b=-2a,

∴c=-3a，且c是函數與y軸的交點的縱坐標，

∴2≤c≤3，

∴2≤-3a≤3即，故②正確；

由②可知二次函數開口向下，

又∵頂點坐標為，

∴x=1時y取最大值，

∴a+b+c≥am2+bm+c即a+b≥am2+bm，故③正確；

∵二次函數的最大值為n，并且n-1<n，所以與y=n-1這條直線有兩個交點，

∴關于的方程有兩個不相等的實數根.故④正確.

故選D.