Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，根據(jù)一元二次方程解的意義和因式分解法解一元二次方程可知，x1，x2也是（x﹣x1）（x﹣x2）＝0的兩個實數(shù)根，所以ax2＋bx＋c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．

利用這個結(jié)論可以解決一些相關(guān)問題．

　　（1）實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

例：分解因式2x2＋2x﹣1

解：令2x2＋2x﹣1＝0，解這個方程，得

＝.

即x1＝，x2＝.

所以 2x2＋2x﹣1＝．

試仿照上例在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2﹣6x＋1；

（2）解不等式：x2＋2x﹣1＞0；

（3）靈活運用：

已知方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0的兩個實數(shù)根是c、d，求方程（2x﹣c）（2x﹣d）＋2x＝0的根．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或；（3）x1＝，x2＝.

【解析】

（1） 根據(jù)題意設(shè)x2－6x＋1＝0，解得x的值再代入方程即可.

（2） 根據(jù)題意設(shè)x2＋2x－1＝0，解得x的值再代入不等式，解得不等式組即可.

（3） 將方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0的兩根c、d代入方程，再把x=a代入方程即可解得方程的根.

解：（1）令x2－6x＋1＝0，解這個方程，得

.

所以，x2－6x＋1＝.

（2）令x2＋2x－1＝0，解這個方程，得

.

所以　　　　　x2＋2x－1＝.

所以　　　　　　　＞0.

所以　　　　　，或.

解這兩個不等式組，得

　　　　　　　，或.　

（3）因為方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0的兩根是c、d，

所以　　　（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝（x－c）（x－d）.

所以　　　（x－c）（x－d）＋x＝（x﹣a）（x﹣b）.

因為當(dāng)x＝a時，代入上式，得

（a－c）（a－d）＋a＝（a﹣a）（a﹣b）＝0，

所以x＝a是方程（x－c）（x－d）＋x＝0的一個根，

同理，x＝b也是方程（x－c）（x－d）＋x＝0的一個根.

所以方程　（x－c）（x－d）＋x＝0的兩個根為x＝a或b.

在方程（2x﹣c）（/span>2x﹣d）＋2x＝0中，設(shè)2x＝y，得（y﹣c）（y﹣d）＋y＝0.

所以　y＝a或b.

所以　2x＝a或b，解得x1＝，x2＝.

所以，方程（2x﹣c）（2x﹣d）＋2x＝0的根是x1＝，x2＝.