Question

如圖，在△ABC中∠ACB=90°，D是AB的中點，以DC為直徑的⊙O交△ABC的三邊，交點分別是G，F，E點．GE，CD的交點為M，且ME=4

6

，MD：CO=2：5．
（1）求證：∠GEF=∠A；
（2）求⊙O的直徑CD的長；
（3）若cos∠B=0.6，以C為坐標原點，CA，CB所在的直線分別為X軸和Y軸，建立平面直角坐標系，求直線AB的函數表達式．

Answer 1

（1）證明：連接DF，
∵CD是圓直徑∴∠CFD=90°即DF⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵在⊙O中∠BDF=∠GEF，∴∠GEF=∠A．

（2）∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC相似，
∴

OM

ME

=

ME

MC

∴ME²=OM×MC，
又∵ME=4

6

∴OM×MC=(4

6

)2=96，
∵MD：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，∴OM：MC=3：8，
設OM=3xMC=8x，
∴3x×8x=96，
∴x=2，
直徑CD=10x=20．

（3）∵Rt△ABC斜邊AB的中線CD=20，
∴AB=40，
∵在Rt△ABC中，cos∠B=0.6=

BC

AB

，∴BC=24，
∴AC=32，
設直線AB的函數表達式為y=kx+b根據題意得A（32，0）B（0，24），
b=24，0×k+b=24解得k=-

3

4

，32×k+b=0，
∴直線AB的函數解析式為y=-

3

4

x+24．