Question

【題目】如圖所示，拋物線m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）與x軸于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C.將拋物線m繞點B旋轉180°，得到新的拋物線n，它的頂點為C1，與x軸的另一個交點為A1.

(1)當a=－1,b=1時，求拋物線n的解析式；

(2)四邊形AC1A1C是什么特殊四邊形，請寫出結果并說明理由；

(3)若四邊形AC1A1C為矩形，請求出a,b應滿足的關系式.

Answer 1

【答案】(1) (2) 平行四邊形，理由見解析 (3)

【解析】解：（1）當時，拋物線的解析式為：.

令，得：. ∴C（0,1）.

令，得：. ∴A（-1,0），B（1,0）

∵C與C1關于點B中心對稱，

∴拋物線的解析式為： ………4分

（2）四邊形AC1A1C是平行四邊形. ………5分

理由：∵C與C1、A與A1都關于點B中心對稱，

∴,

∴四邊形AC1A1C是平行四邊形. ………8分

（3）令，得：. ∴C（0,）.

令，得：, ∴,

∴, ………9分

∴.

要使平行四邊形AC1A1C是矩形，必須滿足,

∴， ∴，

∴.

∴應滿足關系式. ………10分

（1）通過a=－1,b=1，求得拋物線的解析式，從而求得A、B、C的坐標，根據對稱性求得拋物線的解析式

(2) 根據對稱性求得四邊形AC1A1C是平行四邊形

（3）通過拋物線求得A、B的坐標，求得AB、BC長，要使平行四邊形AC1A1C是矩形，必須滿足，從而求得a,b的關系式