Question

【題目】定義：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“垂直四邊形”．

（1）理解：

如圖1，已知四邊形ABCD是“垂直四邊形”，對角線AC，BD交于點O，AC=8，BD=7，求四邊形ABCD的面積.

（2）探究：

小明對 “垂直四邊形”ABCD（如圖1）進行了深入探究，發現其一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和．即．你認為他的發現正確嗎？試說明理由．

（3）應用：

① 如圖2，在△ABC中， ，AC=6，BC=8，動點P從點A出發沿AB方向以每秒5個單位的速度向點B勻速運動，同時動點Q從點C出發沿CA方向以每秒6個單位的速度向點A勻速運動，運動時間為t秒（），連結CP，BQ，PQ．當四邊形BCQP是“垂直四邊形”時，求t的值．

② 如圖3，在△ABC中，，AB=3AC，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連結EG．請直接寫出線段EG與BC之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）28；（2）證明見解析；（3）①；②

【解析】試題分析：（1）由于對角線互相垂直，所以四邊形ABCD的面積可化為AOBD+COBD的和；

（2）由于對角線互相垂直，由勾股定理分別表示出AB2、CD2、AD2、BC2；

（3）①過點P作PD⊥AC于點D，構造△PAD∽△BAC后，利用BP2+CQ2=PQ2+BC2列出關于t的方程；②連接BE、CG、BG、CE，證明四邊形BCGE是垂直四邊形，然后利用其性質“一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和”，即可得出EG與BC的數量關系．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是“垂直四邊形”，

∴AC⊥BD，

∴四邊形ABCD的面積為AOBD+COBD=BD(AO+CO) =ACBD=2×8×7=28，

故答案為：28；

（2）∵四邊形ABCD是“垂直四邊形”，

∴AC⊥BD.

由勾股定理可知：

AB2+CD2=(AO2+BO2)+(DO2+CO2)，

AD2+BC2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2)，

∴AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）① 過點P作PD⊥AC于點D,

∵∠ACB=90°，

∴AB==10，PD∥BC.

∴ △PAD∽△BAC，

∴.

∵ 動點P的速度為每秒5個單位，動點Q的速度為每秒6個單位.

∴ AP=5t，CQ=6t

∴，∴AD=3t，PD=4t.

∵ 四邊形BCQP是“垂直四邊形”.

∴BP2+CQ2=PQ2+BC2.

∴(10-5t)2+(6t)2=(4t)2+(6-9t)2+82，

解得t=或t=0（舍去）.

∴ 當四邊形BCQP是“垂直四邊形”時，t的值為.

②如圖3，

連接CG、BG、BE、CE，

CE與BG交于點O

由題意知：EA=BA，AC=AG

∠EAB=∠CAG=90°

∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠BAC

∴∠EAC=∠BAG

在△EAC與△BAG中，

∴△EAC≌△BAG(SAS)

∴∠CEA=∠GBA

∴∠EAB=∠BOE=90°

∴四邊形BCGE是“垂直四邊形”

∴BC2+EG2=BE2+CG2，

∵AB=3AC，

∴EG2=BC2.