Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，過(guò)點(diǎn)E作直線l⊥x軸于H，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l于F．

（1）求拋物線解析式；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F恰好在拋物線上時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)；

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點(diǎn)，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線解析式為y= x2+ x+3

（2）

解：如圖2，∵點(diǎn)F恰好在拋物線上，C（0，3），

∴F的縱坐標(biāo)為3，

把y=3代入y= x2+ x+3得，3= x2+ x+3；

解得x=0或x=4，

∴F（4，3）

∴OH=4，

∵∠CDE=90°，

∴∠ODC+∠EDH=90°，

∴∠OCD=∠EDH，

在△OCD和△HDE中，

，

∴△OCD≌△HDE（AAS），

∴DH=OC=3，

∴OD=4﹣3=1；

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求得即可；（2）根據(jù)C的縱坐標(biāo)求得F的坐標(biāo)，然后通過(guò)△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的長(zhǎng)；（3）①先確定C、D、E、F四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理求得∠ECF=∠EDF，由于tan∠ECF= = = ，即可求得tan∠FDE= ； ②連接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，過(guò)D點(diǎn)作DG1∥CE，交直線l于G1 ， 過(guò)D點(diǎn)作DG2⊥CE，交直線l于G2 ， 則∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直線CE的解析式為y=﹣ x+3，即可設(shè)出直線DG1的解析式為y=﹣ x+m，直線DG2的解析式為y=2x+n，把D的坐標(biāo)代入即可求得m、n，從而求得解析式，進(jìn)而求得G的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．