Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，點F是AB的中點，AD與FE、BE分別交于點G、H，∠CBE=∠BAD．有下列結論：①FD=FE；②AH=2CD；③BCAD= AE2；④S△ABC=4S△ADF ． 其中正確的有（ ）

A.1個
B.2 個
C.3 個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵點F是AB的中點，
∴FD= AB，
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵點F是AB的中點，
∴FE= AB，
∴FD=FE，①正確；
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
在△AEH和△BEC中， ，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，②正確；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ ，即BCAD=ABBE，
∵ AE2=ABAE=ABBE，BCAD=ACBE=ABBE，
∴BCAD= AE2；③正確；
∵F是AB的中點，BD=CD，∴
S△ABC=2S△ABD=4S△ADF ． ④正確；
故選：D．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．