Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)G為拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，H為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)C、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形的周長最小時(shí)，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；

（3）設(shè)直線AE與拋物線對稱軸的交點(diǎn)為P，M為直線AE上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥PD交拋物線于點(diǎn)N，以P、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，請求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3；（2）G（1，1），H（，0），四邊形CFHG的周長最小值2+2；（3）M的坐標(biāo)為：M（0，1）或（，）或（，）．

【解析】

(1)根據(jù)拋物線上的兩點(diǎn)列方程組求拋物線y=﹣x2+bx+c中的系數(shù)b和c，(2)根據(jù)題目的提示可以畫出簡圖，然后表示出以點(diǎn)C、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形的周長，在根據(jù)表示出的線段就可以求出最短的周長，對應(yīng)的點(diǎn)G、H的坐標(biāo)也可得出；（3）根據(jù)題意可以分兩種情況討論，點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方或者下方，然后設(shè)出點(diǎn)M，根據(jù)題目給出的條件是否能將P、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形組成平行四邊形，可以根據(jù)平行四邊形對邊相等來入手.

（1）∵y=﹣x2+bx+c經(jīng)過（3，0）和（2，3），

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3，

∴y=﹣（x﹣1）2+4，

∴對稱軸為x=1．

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，

∴x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0）．

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴C（0，3）

∴CE=2．OC=3

如圖，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱，在x軸上取點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GC、GE、則HF=HI．

∵拋物線的對稱軸為x=1，

∴點(diǎn)C點(diǎn)E關(guān)于對稱軸x=1對稱，

∴CG=EG．

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得：，

∴直線AE的解析式為y=x+1．

當(dāng)x=0時(shí)，y=1，

∴F（0，1），

∴OF=1，CF=2．

∵點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱，

∴I（0，﹣1），

∴OI=1，CI=4．

在Rt△CIE中，由勾股定理，得

EI==2．

∵要使四邊形CFHG的周長最小，而CF是定值，

∴只要使CG+GH+HF最小即可．

∵CG+GH+HF=EG+GH+HI，

∴只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+GH+HI最�。�

設(shè)EI的解析式為y=k1x+b1，由題意，得

，

解得：，

∴直線EI的解析式為：y=2x﹣1，

∵當(dāng)x=1時(shí)，y=1，

∴G（1，1）．

∵當(dāng)y=0時(shí)，x，

∴H（，0），

∴四邊形CFHG的周長最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2；

（3）∵y=﹣x2+2x+3，

∴y=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）

∴直線AE的解析式為y=x+1．

∴x=1時(shí)，y=2，

∴P（1，2），

∴PD=2．

∵四邊形DPMN是平行四邊形，

∴PD=MN=2．

∵點(diǎn)M在AE上，設(shè)M（x，x+1），

①當(dāng)點(diǎn)M在線段AE上時(shí)，點(diǎn)N點(diǎn)M的上方，則N（x，x+3），

∵N點(diǎn)在拋物線上，

∴x+3=﹣x2+2x+3，

解得：x=0或x=1（舍去）

∴M（0，1）．

②當(dāng)點(diǎn)M在線段AE或EA的延長線上時(shí)，點(diǎn)N在M的下方，則N（x，x﹣1）．

∵N點(diǎn)在拋物線上，

∴x﹣1=﹣x2+2x+3，

解得：x=或x=，

∴M（，）或（，）．

∴M的坐標(biāo)為：M（0，1）或（，）或（，）．