Question

我們知道，經過原點的拋物線解析式可以是。
（1）對于這樣的拋物線：
當頂點坐標為（1，1）時，a=       ；
當頂點坐標為（m，m），m≠0時，a 與m之間的關系式是       ；
（2）繼續探究，如果b≠0，且過原點的拋物線頂點在直線上，請用含k的代數式表示b；
（3）現有一組過原點的拋物線，頂點A₁，A₂，…，A_n在直線上，橫坐標依次為1，2，…，n（n為正整數，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B₁，B₂，B₃，…，B_n，以線段A_nB_n為邊向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若這組拋物線中有一條經過點D_n，求所有滿足條件的正方形邊長。

Answer 1

（1）－1；（2）（3）3，6，9

解：（1）－1；。
（2）∵過原點的拋物線頂點在直線上，∴。
∵b≠0，∴。
（3）由（2）知，頂點在直線上，橫坐標依次為1，2，…，n（n為正整數，且n≤12）的拋物線為：，即。
對于頂點在在直線上的一點A _m（m，m）（m為正整數，且m≤n），依題意，作的正方形A_mB_mC_mD_m邊長為m，點D_m坐標為（2 m，m），
若點D_m在某一拋物線上，則
，化簡，得。
∵m，n為正整數，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。
∴所有滿足條件的正方形邊長為3，6，9。
（1）當頂點坐標為（1，1）時，由拋物線頂點坐標公式，有，即。
當頂點坐標為（m，m），m≠0時，。
（2）根據點在直線上，點的坐標滿足方程的關系，將拋物線頂點坐標代入，
化簡即可用含k的代數式表示b。
由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標。
（3）將依題意，作的正方形A_mB_mC_mD_m邊長為m，點D_m坐標為（2 m，m），將（2 m，m）代入拋物線求出m，n的關系，即可求解。