Question

如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為O，A點坐標為（4，0），B點坐標為（﹣1，0），以AB的中點P為圓心，AB為直徑作⊙P的正半軸交于點C．

（1）求經過A、B、C三點的拋物線所對應的函數解析式；
（2）設M為（1）中拋物線的頂點，求直線MC對應的函數解析式；
（3）試說明直線MC與⊙P的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）（2）（3）MC與⊙P的位置關系是相切

解：（1）∵A（4，0），B（－1，0），
∴AB=5，半徑是PC=PB=PA=。∴OP=。
在△CPO中，由勾股定理得：。∴C（0，2）。
設經過A、B、C三點拋物線解析式是，
把C（0，2）代入得：，∴。
∴。
∴經過A、B、C三點拋物線解析式是，
（2）∵，∴M。
設直線MC對應函數表達式是y=kx+b，
把C（0，2），M代入得：，解得。
∴直線MC對應函數表達式是。

（3）MC與⊙P的位置關系是相切。證明如下：
設直線MC交x軸于D，
當y=0時，，∴，OD=。∴D（，0）。
在△COD中，由勾股定理得：，
又，，
∴CD²+PC²=PD²。
∴∠PCD=90⁰，即PC⊥DC。
∵PC為半徑，
∴MC與⊙P的位置關系是相切。
（1）求出半徑，根據勾股定理求出C的坐標，設經過A、B、C三點拋物線解析式是，把C（0，2）代入求出a即可。
（2）求出M的坐標，設直線MC對應函數表達式是y=kx+b，把C（0，2），M代入得到方程組，求出方程組的解即可。
（3）根據點的坐標和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據勾股定理的逆定理得出∠PCD=90⁰，即可作出判斷。