Question

【題目】（1）（學習心得）

小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．

例如：如圖，在中，，，是外一點，且，求的度數，若以點為圓心，為半徑作輔助圓⊙，則點、必在⊙上，是⊙的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到__________．

（2）（問題解決）

如圖，在四邊形中，，，求的度數．

小剛同學認為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：的外接圓就是以的中點為圓心，長為半徑的圓；的外接圓也是以的中點為圓心，長為半徑的圓．這樣、、、四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質求出的度數，請運用小剛的思路解決這個問題．

（3）（問題拓展）

如圖，在中，，是邊上的高，且，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）25°；（3）．

【解析】試題分析: （1）利用同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求解；（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC=∠BAC=25°；（3）作的外接圓⊙，由，根據同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半可得，所以為等腰直角三角形，求得，即可得；過分別作于，作于，則四邊形為矩形，為等腰直角三角形，所以，從而得，在中，由勾股定理求得，繼而求得．

試題解析:

（）根據同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半可得： ．

（）、、、四點共圓，

、都是所對的圓周角，

∴．

（）作的外接圓⊙，

∵，

∴，

∴為等腰直角三角形，

∵，

∴，

∴，

過分別作于，

作于，

則四邊形為矩形，

為等腰直角三角形，

∴，

，

在中，

由勾股定理得，

∴．