Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點M，已知BC＝5，點E在射線BC上，tan∠DCE＝，點P從點B出發，以每秒2個單位沿BD方向向終點D勻速運動，過點P作PQ⊥BD交射線BC于點O，以BP、BQ為鄰邊構造PBQF，設點P的運動時間為t（t＞0）．

（1）tan∠DBE＝　 　；

（2）求點F落在CD上時t的值；

（3）求PBQF與△BCD重疊部分面積S與t之間的函數關系式；

（4）連接PBQF的對角線BF，設BF與PQ交于點N，連接MN，當MN與△ABC的邊平行（不重合）或垂直時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）;（2）t＝;（3）見解析;（4）t的值為或或或2．

【解析】

（1）如圖1中，作DH⊥BE于H．解直角三角形求出BH，DH即可解決問題．

（2）如圖2中，由PF∥CB，可得，由此構建方程即可解決問題．

（3）分三種情形：如圖3-1中，當時，重疊部分是平行四邊形PBQF．如圖3-2中，當時，重疊部分是五邊形PBQRT．如圖3-3中，當1＜t≤2時，重疊部分是四邊形PBCT，分別求解即可解決問題．
（4）分四種情形：如圖4-1中，當MN∥AB時，設CM交BF于T．如圖4-2中，當MN⊥BC時．如圖4-3中，當MN⊥AB時．當點P與點D重合時，MN∥BC，分別求解即可．

解：（1）如圖1中，作DH⊥BE于H．

在Rt△BCD中，∵∠DHC＝90°，CD＝5，tan∠DCH＝，

∴DH＝4，CH＝3，

∴BH＝BC+CH＝5+3＝8，

∴tan∠DBE＝＝＝．

故答案為．

（2）如圖2中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵BC＝5，tan∠CBM＝＝，

∴CM＝，BM＝DM＝2，

∵PF∥CB，

∴＝，

∴＝，

解得t＝．

（3）如圖3﹣1中，當0＜t≤時，重疊部分是平行四邊形PBQF，S＝PBPQ＝2tt＝10t2．

如圖3﹣2中，當＜t≤1時，重疊部分是五邊形PBQRT，S＝S平行四邊形PBQF﹣S△TRF＝10t2﹣[2t﹣（5﹣5t）] [2t﹣（5﹣5t）]＝﹣55t2+（20+50）t﹣25．

如圖3﹣3中，當1＜t≤2時，重疊部分是四邊形PBCT，S＝S△BCD﹣S△PDT＝×5×4﹣（5﹣t）（4﹣2t）＝﹣t2+10t．

（4）如圖4﹣1中，當MN∥AB時，設CM交BF于T．

∵PN∥MT，

∴＝，

∴＝，

∴MT＝，

∵MN∥AB，

∴＝＝＝2，

∴PB＝BM，

∴2t＝×2，

∴t＝．

如圖4﹣2中，當MN⊥BC時，易知點F落在DH時，

∵PF∥BH，

∴＝，

∴＝，

解得t＝．

如圖4﹣3中，當MN⊥AB時，易知∠PNM＝∠ABD，

可得tan∠PNM＝＝，

∴＝，

解得t＝，

當點P與點D重合時，MN∥BC，此時t＝2，

綜上所述，滿足條件的t的值為或或或2．