Question

【題目】如圖，已知，⊙O的半徑，弦AB，CD交于點E，C為的中點，過D點的直線交AB延長線與點F，且DF=EF．

（1）如圖①，試判斷DF與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）如圖②，連接AC，若AC∥DF，BE=AE，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）DF與⊙O相切，理由見解析；（2）CE=2．

【解析】

（1）如圖，作輔助線；證明∠ODC+∠CDF=90°，即可解決問題．

（2）如圖，作輔助線；證明OH⊥AB，AH=4λ，此為解題的關鍵性結論；證明CE=λ；列出方程r2=（r-3λ）2+（4λ）2，求出λ=r=×=2，即可解決問題．

（1）DF與⊙O相切．

如圖1，連接OC、OD；

∵C為弧AB的中點，

∴OC⊥AB，∠OCE+∠AEC=90°；

∴DF=EF，

∴∠FDE=∠FED=∠AEC；

∵OA=OC，

∴∠OCE=∠ODC，

∴∠ODC+∠CDF=90°，

即OD⊥DF，

∴DF與⊙O相切．

（2）如圖2，連接OA、OC；

由（1）知OC⊥AB，

∴AH=BH；

∵AC∥DF，

∴∠ACD=∠CDF；而EF=DF，

∴∠DEF=∠CDF=∠ACD，

∴AC=AE；

設AE=5λ，則BE=3λ，

∴AH=4λ，HE=λ，AC=AE=5λ；

∴由勾股定理得：CH=3λ；

CE2=CH2+HE2=9λ2+λ2，

∴CE=λ；

在直角△AOH中，由勾股定理得：

AO2=AH2+OH2，

即r2=（r-3λ）2+（4λ）2，

解得：λ=r=×=2，

∴CE=2．