Question

【題目】（本小題滿分9分）等邊△ABC的邊長為2，P是BC邊上的一動點(不與B，C重合)，設BP=x，連接AP，以AP為邊向兩側作等邊△APD和等邊△APE，分別與邊AB，AC交于點M，N. (如圖1)．

（1）求證：AM＝AN；

（2）若BM＝，求x的值；

（3）求四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積S與x之間的函數關系式及S的最小值；

（4）如圖2，連接DE分別與邊AB，AC交于點G，H．當x為何值時，∠BAD＝15 .

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）或；（3）S（x﹣1）2+，S的最小值為；（4）x=2﹣2

【解析】

試題分析：（1）根據等邊三角形的性質得到∠PAN=∠DAM，證明△ADM≌△APN，根據全等三角形的性質證明結論；

（2）證明△BPM∽△CAP，根據相似三角形的性質列出比例式，解方程即可；

（3）作PH⊥AB于H，根據勾股定理和銳角三角函數的概念求出S△ADP，根據四邊形ADPE與△ABC重疊部分四邊形AMPN的面積S=△ADP的面積得到答案；

（4）連接PG，根據菱形的性質、等腰直角三角形的性質計算即可．

試題解析：（1）∵△ABC、△APD、△APE都是等邊三角形，

∴AD=AP，∠ADM=∠APN=60°，∠DAP=∠BAC=60°，

∴∠PAN=∠DAM，

在△ADM和△APN中，

，

∴△ADM≌△APN，

∴AM=AN；

（2）∵∠PMB=∠MPA+∠BAP，∠APC=∠B+∠BAP，∠MPA=∠B=60°，

∴∠PMB=∠APC，又∠B=∠C，

∴△BPM∽△CAP，

∴，即，

整理得，4x2﹣8x+3=0，

解得，x1=，x2=，

∴當BM=時，x的值為或；

（3）如圖1，作PH⊥AB于H，

∵△ADM≌△APN，

∴四邊形ADPE與△ABC重疊部分四邊形AMPN的面積S=△ADP的面積，

∵BP=x，∠B=60°，

∴BH=x，PH=x，

∴AH=2﹣x，

由勾股定理得，AP2=AH2+PH2=（2﹣x）2+（x）2=x2﹣2x+4，

∵△ADP是等邊三角形，

∴S△ADP=×AP×AP=AP2=（x﹣1）2+，

∴S的最小值為；

（4）連接PG，

當∠BAD=15°時，∵∠DAP=60°，

∴∠GAP=45°，

∵四邊形ADPE是菱形，

∴AP⊥DE，

∴AG=PG，

∵∠B=60°，BP=x，

∴BG=x，AG=PG=x，

∴x+x=2，

解得，x=2﹣2，

∴當x=2﹣2時，∠BAD=15°．