Question

【題目】如圖，在中，，點O是上一點，以O為圓心，為半徑的圓分別交于點，點D是弧的中點.

（1）試判斷直線與的位置關系，并說明理由；

（2）若，求弧的長度（結果保留）

Answer 1

【答案】（1）直線與 相切，證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODB=90°，從而證得BC是圓的切線；

（2）在直角三角形OBD中，設OF=OD=x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數，利用弧長公式計算即可．

（1）BC與⊙O相切．

證明：連接OD．

∵點D是弧EF的中點

∴∠BAD=∠CAD，

又∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC，

又∵BC過半徑OD的外端點D，

∴BC與⊙O相切；

（2）設OF=OD=x，則OB=OF+BF=x+2，

根據勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，

解得：x=2，即OD=OF=2，

∴OB=2+2=4，

∵Rt△ODB中，OD=OB，

∴∠B=30°，

∴∠DOB=60°，

∴弧的長度為：.