Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，點在軸上，以點為直角頂點作等腰直角．．當點落在某函數的圖象上時，稱點為該函數的“懸垂點”，為該函數的“懸垂等腰直角三角形”．

（1）若點是函數的懸垂點，直接寫出點的橫坐標為________．

（2）若反比例函數的懸垂等腰直角三角形面積是，求的值．

（3）對于函數，當時，該函數的懸垂點只有一個，求的取值范圍．

（4）若函數的懸垂等腰直角的面積范圍為，且點在第一象限，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）6或2；（3）；（4）1≤a≤2或4≤a≤5．

【解析】

（1）設C（m,m+3）,根據“懸垂等腰直角三角形”的定義可知∠CAB＝45°,求出直線CA的解析式,C點即函數的圖象與直線CA的交點,列方程求解即可;

（2）先根據“懸垂等腰直角三角形”定義及懸垂等腰直角三角形面積是2,求得點C的坐標,再根據反比例函數概念求k的值;

（3）設點C（m，m﹣1）,根據“懸垂等腰直角三角形”定義可列方程m2﹣5m+7＝m﹣1,求解后再根據“該函數的懸垂點只有一個”即可求得結論;

（4）根據“點C在第一象限,2≤S△ABC≤”,可得2≤AB≤3,進而得到,3≤m≤4,再由“懸垂等腰直角三角形”定義可得,m2﹣2am+a2+a﹣3＝m﹣1,解得：a1＝m﹣2或a2＝m+1,即可得到結論．

解:以點B為直角頂點作等腰直角△ABC,點A（1,0）,即直線AC與x軸成45°角,與y＝x或y＝﹣x平行,

∴直線CA的解析式為:y＝x﹣1或y＝﹣x+1,

（1）當直線CA的解析式為y＝x﹣1時,

,

解得:;

即C點為（8,7）,

當直線CA的解析式為y＝﹣x+1時,

,

解得: ;

即C點為（ , ）,

故答案為:8或；

（2）設點C的橫坐標為m,則點C的縱坐標為m﹣1,

∵S△ABC＝（m﹣1）2＝2,

∴m1＝﹣1,m2＝3,

∴點C的坐標為（﹣1,﹣2）或（3,2）,

∵點C在反比例函數y＝（k＞0）的圖象上,

∴k＝2或k＝6;

（3）設點C（m,m﹣1）,

∵點C在函數y＝x2﹣5x+7的圖象上,

∴m2﹣5m+7＝m﹣1,

解得:m1＝2,m2＝4,

∵當1≤x≤n（n＞1）時,該函數的懸垂點只有一個,

∴2≤n＜4．

（4）∵點C在第一象限,2≤S△ABC≤，

∴2≤AB≤3,

∵點A（1,0）,

∴3≤m≤4,

∵m2﹣2am+a2+a﹣3＝m﹣1,

∴a1＝m﹣2或a2＝m+1,

當a＝m﹣2時,可得1≤a≤2,

當a＝m+1時,可得4≤a≤5,

綜上所述,a的取值范圍為:1≤a≤2或4≤a≤5．