Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像分別交x、y軸于點A、B，拋物線經過點A、B，點P為第四象限內拋物線上的一個動點.

（1）求此拋物線對應的函數表達式；

（2）如圖1所示，過點P作PM∥y軸，分別交直線AB、x軸于點C、D，若以點P、B、C為頂點的三角形與以點A、C、D為頂點的三角形相似，求點P的坐標；

（3）如圖2所示，過點P作PQ⊥AB于點Q，連接PB，當△PBQ中有某個角的度數等于∠OAB度數的2倍時，請直接寫出點P的橫坐標.

Answer 1

【答案】（1）拋物線對應的函數表達式為；（2）P的坐標為或；（3）點P的橫坐標為3或.

【解析】

（1）先利用一次函數求出A,B兩點的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

（2）分兩種情況：若，則；若，則，分情況進行討論即可；

（3）分兩種情況，和，分情況進行討論即可.

（1）令 時，，

∴ ，

令 時，，解得，

∴ ，

將點A,B代入中得

解得

∴拋物線對應的函數表達式為.

（2）設 ，

若，則 ，

此時P點的縱坐標與B點的縱坐標相同，

∴，

解得（舍去）或，

∴，

若，則 ，作PQ⊥OB于點Q，

，

，

，

，

∵，，

∴ ， ，

即，

解得（舍去）或

∴

綜上所述，P的坐標為或.

（3）若,過點B作BC∥OA交PQ于點C，過點P作PD⊥OB于點D

∵BC∥OA

∴

設

∴

解得（舍去）或

∴

若，如圖，取AB的中點E，連接OE，過P作PG⊥x軸于G，交直線AB于H，過O作OF⊥AB于F，連接AP，則∠BPQ=∠OEF，

設點，則，

，

，

，

，

則有，

，

，

，

即，

，

，

化簡得：，即，

解得：（舍去），.

綜上，存在點P，使得△PBQ中有某個角的度數等于∠OAB度數的2倍時，其P點的橫坐標為3或.