Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，過點O的拋物線y＝ax2﹣7ax與x軸正半軸交于點A，點D為第三象限拋物線上一點，AD交y軸于點B，OA＝2OB，點D縱坐標為﹣4．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P為第一象限拋物線上一點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，PD交y軸于點C，連接CE，求證：CE∥AD；

（3）如圖3，在（2）的條件下，將線段EC繞點E順時針旋轉90°，使點C恰好落在拋物線的點F處，連接OP，點Q為線段OP上一點，若∠FQC＝135°，求點Q坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據題意求得點A、B的坐標，再由相似的到D點的坐標即可得到解析式；

（2）過點D作軸交PE延長線于M，設點P橫坐標為m，通過三角函數可知，進而根據平行線的判定定理即可得到；

（3）通過構造正方形CEFG，過點F作于T，根據正方形的性質可證，進而再由圓的內接四邊形的特征及三角形全等的性質及判定即可求出Q點坐標.

解：（1）過點D作軸與H

令，則

即點A、B的坐標分別為

∵，∴，解得：

∴點，代入解析式得：

解得：

∴函數的表達式為解析式為：；

（2）過點D作軸交PE延長線于M，設點P橫坐標為m

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴；

（3）構造正方形CEFG，過點F作于T

∵點

∴，

∴

∴，

∴

∴

∴

∴點F坐標為代入二次函數解析式并解得：

∴點

過F作于S

∵

∴為等腰直角三角形

∵四邊形FGCS對角互補

∴ F，G，C，S四點共圓

連接GS，過點G作交SF延長線于L

∵F，G，C，S四點共圓

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∵點

∴OP解析式為

設點

∵，

∴

解得或（舍）

∴點Q坐標為．