Question

【題目】如圖，正方形AOBC的頂點O在原點，邊AO，BO分別在x軸和y軸上，點C坐標為(4，4)，點D是BO的中點，點P是邊OA上的一個動點，連接PD，以P為圓心，PD為半徑作圓，設點P橫坐標為t，當⊙P與正方形AOBC的邊相切時，t的值為_____．

Answer 1

【答案】或2

【解析】

由點C的坐標可得OA、OB的長，根據點D是OB的中點可得OD的長，分⊙P與AC相切和⊙P與BC相切兩種情況分別進行討論即可求得答案.

∵點C坐標為（4，4），點D是BO的中點，

∴OA＝OB＝4，OD＝OB＝2，

分⊙P與AC相切和⊙P與BC相切兩種情況考慮：

①當⊙P與AC相切時，如圖1所示．

∵點P橫坐標為t，

∴PA＝4﹣t．

在Rt△DOP中，OD＝2，OP＝t，PD＝PA＝4﹣t，

∴PD2＝OD2+OP2，即（4﹣t）2＝22+t2，

解得：t＝；

②當⊙P與BC相切時，設切點為E，連接PE，如圖2所示．

∵PE⊥BC，AC⊥BC，

∴PE∥AC．

∵PA∥EC，

∴四邊形ACEP為矩形，

∴PE＝AC＝4，

∴PD＝PE＝4．

在Rt△POD中，OP＝t，OD＝2，PD＝4，

∴PD2＝OD2+OP2，即42＝22+t2，

解得：t1＝2，t2＝﹣2（不合題意，舍去），

綜上所述：t的值為或2，

故答案為：或2．