Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關(guān)于⊙C的限距點的定義如下：若P′為直線PC與⊙C的一個交點，滿足r≤PP′≤2r，則稱P′為點P關(guān)于⊙C的限距點，如圖為點P及其關(guān)于⊙C的限距點P′的示意圖.

(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時.

①分別判斷點M(3，4)，N(，0)，T(1，)關(guān)于⊙O的限距點是否存在？若存在，求其坐標；

②點D的坐標為(2，0)，DE，DF分別切⊙O于點E，點F，點P在△DEF的邊上.若點P關(guān)于⊙O的限距點P′存在，求點P′的橫坐標的取值范圍；

(2)保持(1)中D，E，F三點不變，點P在△DEF的邊上沿E→F→D→E的方向運動，⊙C的圓心C的坐標為(1，0)，半徑為r，請從下面兩個問題中任選一個作答.

問題1：若點P關(guān)于⊙C的限距點P′存在，且P′隨點P的運動所形成的路徑長為πr，則r的最小值為__________.

問題2：若點P關(guān)于⊙C的限距點P′不存在，則r的取值范圍為_________.

Answer 1

【答案】(1)①點M、點T關(guān)于⊙O的限距點不存在，點N關(guān)于⊙0的限距點存在，坐標為(1，0)；②﹣1≤x≤﹣或x＝1；(2)問題1：；問題2：0＜r＜.

【解析】

(1)①根據(jù)限距點的定義即可判斷.

②分三種情形：①當(dāng)點P在線段EF上時，②當(dāng)點P在線段DE、DF(不包括端點)上時，③當(dāng)點P與點D重合時，分別說明即可解決問題.

(2)問題1：如圖2中，△PP′C是等邊三角形，點P在PP′上運動時，有限距點，列出不等式即可解決.

問題2：如圖2中，當(dāng)點H不存在限距點時，點P就不存在限距點，列出不等式即可解決.

解：(1)①如圖

M(3，4)，N(，0)，T(1，)

當(dāng)⊙O的半徑為1時即

，點M的限距點不存在；

，點T的限距點不存在；

，，點N的限距點存在即為

所以點M、點T關(guān)于⊙O的限距點不存在，點N關(guān)于⊙O的限距點存在，坐標為(1，0).

②∵點D坐標為(2，0)，⊙O半徑為1，DE、DF分別切⊙O于E、F，

由對稱可得F(，﹣)

∴切點坐標為(，)，(，﹣)，

如圖所示，不妨設(shè)點E(，)，點F(，﹣)，EO、FO的延長線分別交⊙O于點E′、F′，則E′(﹣，﹣)，F′(﹣，).

設(shè)點P關(guān)于⊙O的限距點的橫坐標為x，

①當(dāng)點P在線段EF上時，直線PO與⊙O的交點P′滿足1≤PP′≤2，故點P關(guān)于⊙O的限距點存在，其橫坐標x滿足﹣1≤x≤﹣.

②當(dāng)點P在線段DE、DF(不包括端點)上時，直線PO與⊙O的交點P′滿足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故點P關(guān)于⊙O的限距點不存在.

③當(dāng)點P與點D重合時，直線PO與⊙O的交點P′(1，0)，滿足PP′＝1，故點P關(guān)于⊙O的限距點存在，其橫坐標x＝1.

綜上所述點P關(guān)于⊙O的限距點的橫坐標x的范圍為﹣1≤x≤﹣或x＝1.

(2)問題1：如圖中，

∵△DEF是等邊三角形，點C是△DEF的外接圓的圓心，

∵若點P關(guān)于⊙C的限距點P′存在，且P′隨點P的運動所形成的路徑長為πr，

∴圖中△PP′C是等邊三角形，點P在PP′上運動時，有限距點，

∵PC∥ED，

∴＝＝，

∴PC＝，

由題意：r≤﹣r≤2r，

∴，

∴r的最小值為.

問題2：如圖中，當(dāng)點H不存在限距點時，點P就不存在限距點，

∵HC＝，

∴﹣r＞2r，

∴r＜，

∴0＜r＜時點P的限距點不存在.

故答案分別為，0＜r＜.