Question

【題目】等角轉化；如圖1，已知點A是BC外一點，連結AB、AC，求∠BAC+∠B+∠C的度數．

（1）閱讀并補充下面的推理過程

解：過點A作ED∥BC，

∴∠B＝∠EAB，∠C＝　 　（　 　）

又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°

∴∠B+∠BAC+∠C＝180°

從上面的推理過程中，我們發現平行線具有“等角轉化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決．

（2）如圖2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度數（提示：過點C作CF∥AB）；

（3）如圖3，已知AB∥CD，點C在點D的右側，∠ADC＝80°，點B在點A的左側，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直線交于點E，點E在兩條平行線AB與CD之間，求∠BED的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠DAC，兩直線平行，內錯角相等；（2）360°；（3）70°

【解析】

（1）根據平行線的性質即可得到結論；

（2）過C作CF∥AB，根據平行線的性質得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根據已知條件即可得到結論；

（3）過點E作EF∥AB，然后根據兩直線平行內錯角相等，再利用角平分線的定義和等量代換即可求∠BED的度數．

解：（1）∵ED∥BC，

∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（兩直線平行，內錯角相等）；

又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，

∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；

（2）過C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠D＝∠FCD，

∵CF∥AB，

∴∠B＝∠BCF，

∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，

∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，

（3）如圖3，過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝80°，

∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝40°，

∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+40°＝70°．