Question

【題目】如圖，AB是以O為圓心的半圓的直徑，半徑CO⊥AO，點(diǎn)M是上的動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、C、B重合，直線AM交直線OC于點(diǎn)D，連結(jié)OM與CM．

（1）若半圓的半徑為10．

①當(dāng)∠AOM=60°時(shí)，求DM的長；

②當(dāng)AM=12時(shí)，求DM的長．

（2）探究：在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，∠DMC的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①DM= 10；②MD=；（2）∠CMD=45°.

【解析】

（1）①當(dāng)時(shí)，所以△AMO是等邊三角形，從而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；

②過點(diǎn)M作MF⊥OA于點(diǎn)F，設(shè)AF=x， 利用勾股定理即可求出x的值．易證明△AMF∽△ADO，從而可知AD的長度，進(jìn)而可求出MD的長度．

（2）根據(jù)點(diǎn)M的位置分類討論，然后利用圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出答案．

（1）①當(dāng)∠AOM=60°時(shí)，

∵

∴△AMO是等邊三角形，

∴∠A=∠MOA=60°，

∴∠MOD=30°，∠D=30°，

∴DM=OM=10

②過點(diǎn)M作MF⊥OA于點(diǎn)F，

設(shè)

∴

∵

由勾股定理可知：

∴

∴

∵MF∥OD，

∴△AMF∽△ADO，

∴

∴

∴

（2）當(dāng)點(diǎn)M位于之間時(shí)，

連接BC，

∵C是的中點(diǎn)，

∴∠B=45°，

∵四邊形AMCB是圓內(nèi)接四邊形，

此時(shí)∠CMD=∠B=45°，

當(dāng)點(diǎn)M位于之間時(shí)，

連接BC，

由圓周角定理可知：∠CMD=∠B=45°

綜上所述，∠CMD=45°