Question

15．如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上的一動點，P從點A出發想點D運動（不與點D重合），O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q，若AD=8，AB=6，
（1）求證：四邊形PBQD是平行四邊形；
（2）當AP等于多少時，四邊形PBQD是菱形；
（3）在第（2）問的前提下，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （1）依據矩形的性質和平行線的性質，通過全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所以OP=OQ，則四邊形PBQD的對角線互相平分，故四邊形PBQD為平行四邊形．
（2）設AP=a，PD=8-a．當四邊形PBQD是菱形時，PB=PD=8-a．在直角△ABP中，根據勾股定理得到AP²+AB²=PB²，即a²+3²=（8-a）²，由此可以求得a即AP的長度．
（3）利用勾股定理列式求出BD，并求出OB，然后利用勾股定理列式求出PO，再根據菱形的對角線互相平分可得PQ=2PO．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
在△POD和△QOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QBO}\\{OB=OD}\\{∠POD=∠QOB}\end{array}\right.$，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；
又∵O為BD的中點，
∴OB=OD，
∴四邊形PBQD為平行四邊形；

（2）答：能成為菱形；
證明：設AP=a，PD=8-a，
若四邊形PBQD是菱形，
∴PD=BP=8-a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB²+AP²=BP²，
即6²+a²=（8-a）²，
解得：a=$\frac{7}{4}$．
即AP=$\frac{7}{4}$時，四邊形PBQD是菱形；

（3）∵AD=8，AB=6，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OB=5，
∵四邊形PBQD是菱形，
∴BD⊥PQ，
∴PO=$\sqrt{B{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（8-\frac{7}{4}）^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴PQ=2PO=$\frac{15}{2}$，

點評 本題考查了四邊形綜合題，解題時需要掌握平行四邊形的判定、矩形的性質、勾股定理以及菱形的性質．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質和判定去解決問題．